辽宁省大连市第二十高级中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理.doc

‎2015-2016学年度上学期期末考试 高二数学（理科）试卷 考试时间：120分钟 试题分数：150分 卷Ⅰ 一、 选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 对于常数、，“”是“方程的曲线是双曲线”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎2. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是 A．所有不能被2整除的数都是偶数 B．所有能被2整除的数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的数是偶数 D．存在一个能被2整除的数不是偶数 ‎3. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为 A． B． C． D．‎ ‎4 . 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题是“甲降落在指定范围”,是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A． B． C． D．‎ ‎5. 若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为 A． B. C. D.‎ ‎6. 曲线在点处的切线的斜率为 A. B. C. D. ‎ 10‎ ‎7． 已知椭圆的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线的焦点坐标为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为，‎ ‎① ② ③‎ 若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则 A. B. C. D. ‎ ‎9. 马云常说“便宜没好货”,他这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的 A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎10. 设，，曲线在点（）处切线的倾斜角的取值范围是，则到曲线对称轴距离的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知点在二面角的棱上，点在内，且.若对于内异于的任意一点，都有，则二面角的大小是 A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知双曲线的两个焦点为、，点在双曲线第一象限的图象上，若△的面积为，且，，则双曲线方程为 10‎ A． 　 B． C． D．‎ 卷Ⅱ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. ‎ ‎13. 正方体中，是的中点，为底面正方形的中心，为棱上任意一点，则直线与直线所成的角为 ．‎ ‎14. 函数，则＝________．‎ ‎15.已知是夹角为的两单位向量，向量，且,，则= .‎ ‎16. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则 ． ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分) ‎ 过点作函数的切线，求切线方程.‎ ‎18.(本小题满分12分) ‎ 已知集合，集合 若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形, ,‎ ‎,⊥底面，且 ‎,分别为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：； ‎ 10‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成的角的正弦值．‎ ‎20. (本小题满分12分) ‎ 已知三棱柱如图所示，四边形为菱形，，为等边三角形，面面，分别为棱的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小．‎ ‎21. (本小题满分12分) ‎ 已知椭圆的离心率为，且椭圆上点到左焦点距离的最小值为.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程.‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 已知椭圆:过点，直线与椭圆交于不同的两点,中点为，为坐标原点，直线斜率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ 10‎ ‎（Ⅱ）椭圆的右顶点为，当得面积为时，求的值.‎ 10‎ ‎2015-2016学年度上学期期末考试高二数学（理科）参考答案 一．选择题 CDBAC CDABB DB 二．填空题 ‎ ‎ 三．解答题 ‎17.解：设切点为，则切线方程为，┅┅┅┅┅┅2分 将点带入，解得或， ┅┅┅┅┅┅┅ 8分 所以切线方程为或 ┅┅┅┅┅┅┅10分 ‎18.解：（1）时，，若是的充分不必要条件，所以，‎ ‎，检验符合题意；┅┅┅┅┅┅┅4分 ‎ ‎（2）时，，符合题意；┅┅┅┅┅┅┅8分 ‎（3）时，，若是的充分不必要条件，所以，‎ ‎，检验不符合题意.‎ 综上.┅┅┅┅┅┅┅12分 ‎19. x y z 解如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则 ‎.‎ ‎（I） 因为，所以 ‎（II） 因为，所以，‎ 又因为，所以平面 因此的余角即是与平面所成的角.‎ 10‎ 因为，‎ 所以与平面所成的角的正弦为 ‎20. （Ⅰ）证明（方法一）取中点，连接，因为分别为中点，所以，┅┅┅┅┅┅┅３分 所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，所以面；┅┅┅┅┅┅┅６分 ‎（方法二）取中点，连接，‎ 因为分别为中点，所以 又因为分别为中点，所以┅┅┅┅┅┅┅３分 且，‎ 所以面面，‎ 又面，所以面┅┅┅┅┅┅６分 ‎（方法三）取中点，连接，‎ 由题可得，又因为面面，‎ 所以面，又因为菱形中，所以.‎ 可以建立如图所示的空间直角坐标系 ‎┅┅┅┅┅┅┅7分 不妨设，‎ 10‎ 可得，‎ ‎，，，，所以 所以，┅┅┅┅┅┅┅9分 设面的一个法向量为，则，不妨取，则，所以，又因为面，所以面.‎ ‎┅┅┅┅┅┅┅12分 ‎（Ⅱ）（方法一）‎ 过点作的垂线交于，连接.‎ 因为，‎ 所以，所以面，‎ 所以为二面角的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分 因为面面，所以点在面上的射影落在上，所以，‎ 所以，不妨设，所以，同理可得.┅┅┅┅┅┅┅10分 所以，所以二面角的大小为 10‎ ‎┅┅┅┅┅┅┅12分 ‎（方法二）接（Ⅰ）方法三可得，设面的一个法向量为，则，不妨取，则.‎ ‎┅┅┅┅┅┅┅８分 又，设面的一个法向量为，则，不妨取，则.┅┅┅┅┅┅┅１０分 所以，因为二面角为锐角，所以二面角的大小为┅┅┅┅┅┅┅１2分 ‎21.解：（Ⅰ）设左右焦点分别为，椭圆上点满足所以在左顶点时取到最小值，又，解得，所以的方程为 ‎.(或者利用设解出得出取到最小值，对于直接说明在左顶点时取到最小值的，酌情扣分)；┅┅┅┅┅┅┅4分 ‎（Ⅱ）由题显然直线存在斜率，所以设其方程为，┅┅┅┅┅┅┅5分 联立其与，得到 ‎，，化简得 ┅┅┅┅┅┅┅8分 联立其与，得到 10‎ ‎，，化简得，┅┅┅┅┅┅┅10分 解得或 所以直线的方程为或 ┅┅┅┅┅┅┅12分 ‎22. 解：（Ⅰ）由题可得直线过点（1,0），在椭圆内，所以与椭圆一定相交，交点设为，则，斜率为，所以，┅┅┅┅┅┅┅3分 又，，所以，所以，又 ‎，解得，所以椭圆的方程为；┅┅┅┅┅┅┅6分 ‎（Ⅱ）与椭圆联立得：，┅┅┅┅┅┅┅8分 面积为，‎ 解得.┅┅┅┅┅┅┅12分 10‎