福建省漳州市东山二中2014-2015学年高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

福建省漳州市东山二中2014-2015学年高三（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共50分）‎ ‎1．设复数z满足，则 =（　　）‎ A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2+i D．2﹣i ‎　‎ ‎2．设集合P={x|=0}，则集合P的所有子集个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．7 D．8‎ ‎　‎ ‎3．下列结论正确的是（　　）‎ A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=2λ B．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“，＜0”‎ C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1‎ D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞0‎ ‎　‎ ‎4．设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（　　）‎ A． B． C．5 D．3‎ ‎　‎ ‎5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=（　　）‎ A．27 B．81 C．243 D．729‎ ‎　‎ ‎6．设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（　　）‎ A．f（x）的图象过点（0，），‎ B．f（x）的一个对称中心是（，0）‎ C．f（x）在[，]上是减函数 D．将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象 ‎　‎ ‎7．图一是某校学生身高的条形统计图，从左到右表示学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如A2‎ - 22 -‎ 表示身高在[150，155）内的人数）．图二是统计图一中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在[160，180）内的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件及输出的s值分别是（　　）‎ A．i＜6，1000 B．i＜7，1500 C．i＜8，1850 D．i＜9，2050‎ ‎　‎ ‎8．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎9．已知椭圆C1： +=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为（　　）‎ A． B．4 C． D．9‎ ‎　‎ ‎10．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=ax•g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）‎ - 22 -‎ ‎11．设二项式的展开式中常数项为A，则A=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则=　　　　　　，|+2|=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎13．记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}和集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2的概率为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．设，则函数的最大值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎15．已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），则m+n的值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．已知f（x）=•，其中=（2cosx，﹣sin2x），=（cosx，1），x∈R．‎ ‎（1）求f（x）的单调递减区间；‎ ‎（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，且向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，求边长b和c的值．‎ ‎　‎ ‎17．空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：‎ 城市 ‎ AQI数值 城市 ‎ AQI数值 城市 ‎ AQI数值 城市 ‎ AQI数值 城市 ‎ AQI数值 城市 ‎ AQI数值 城市 ‎ AQI数值 广州 ‎118‎ 东莞 ‎137‎ 中山 ‎95‎ 江门 ‎78‎ 云浮 ‎76‎ 茂名 ‎107‎ 揭阳 ‎80‎ 深圳 ‎94‎ 珠海 ‎95‎ 湛江 ‎75‎ 潮州 ‎94‎ 河源 ‎124‎ 肇庆 ‎48‎ 清远 ‎47‎ 佛山 ‎160‎ 惠州 ‎113‎ 汕头 ‎88‎ 汕尾 ‎74‎ 阳江 ‎112‎ 韶关 ‎68‎ 梅州 ‎84‎ ‎（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：‎ 空气质量 优质 良好 轻度污染 中度污染 AQI值范围 ‎[0，50）‎ ‎[50，100）‎ ‎[100，150）‎ ‎[150，200）‎ 城市个数 - 22 -‎ ‎（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎　‎ ‎18．如图，△ABC的外接圆⊙O半径为，CD⊥⊙O所在的平面，BE∥CD，CD=4，BC=2，且BE=1，tan∠AEB=2．‎ ‎（1）求证：平面ADC⊥平面BCDE；‎ ‎（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎19．已知x∈[0，1]，函数f（x）=x2﹣ln（x+），g（x）=x3﹣3a2x﹣4a．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间和值域；‎ ‎（2）设a≤﹣1，若∀x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎20．已知抛物线F的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1）．‎ ‎（1）求抛物线F的方程；‎ ‎（2）若点P为抛物线F的准线上的任意一点，过点P作抛物线F的切线PA与PB，切点分别为A，B．求证：直线AB恒过某一定点；‎ ‎（3）分析（2）的条件和结论，反思其解题过程，再对命题（2）进行变式和推广，请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）‎ ‎　‎ ‎　‎ 四、（本小题满分14分）本题设有21、22、23三个选答题，每小题14分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，在答题卡上把所选题号填入括号中.[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎21．已知矩阵M=，记绕原点逆时针旋转的变换所对应的矩阵为N．‎ ‎（Ⅰ）求矩阵N； ‎ ‎（Ⅱ）若曲线C：xy=1在矩阵MN对应变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程．‎ ‎　‎ ‎　‎ - 22 -‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（2014秋•漳州校级期末）已知直线l的参数方程是（其中t为参数），圆C的极坐标方程为，‎ ‎（Ⅰ）将圆C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程．‎ ‎（Ⅱ）过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．（2014•漳州三模）设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣3|，‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小值m ‎（Ⅱ）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．‎ ‎　‎ ‎　‎ - 22 -‎ ‎2014-2015学年福建省漳州市东山二中高三（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共50分）‎ ‎1．设复数z满足，则 =（　　）‎ A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2+i D．2﹣i ‎【考点】复数代数形式的混合运算．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先设出复数的代数形式，再由题意求出复数z，根据共轭复数的定义求出即可．‎ ‎【解答】解：设z=a+bi（a、b∈R），由题意知，，‎ ‎∴1+2i=ai﹣b，则a=2，b=﹣1，‎ ‎∴z=2﹣i， =2+i，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，以及虚数单位i 的幂运算性质，共轭复数的概念，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．设集合P={x|=0}，则集合P的所有子集个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．7 D．8‎ ‎【考点】微积分基本定理．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；转化法；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】先根据定积分求出集合P，根据集合子集的公式2n（其中n为集合的元素），求出集合A的子集个数．‎ ‎【解答】解： =（t3﹣5t2+6t）|=x3﹣5x2+6x=x（x﹣2）（x﹣3）=0，解得x=0，或2，或3，‎ ‎∴P={0，2，3}，‎ ‎∴集合P的所有子集个数23=8，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查学生掌握子集与真子集的定义，会利用2n求集合的子集，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎3．下列结论正确的是（　　）‎ A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=2λ B．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“，＜0”‎ C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1‎ D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞0‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】A．若，则不存在实数λ使得=2λ；‎ - 22 -‎ B．若，＜0，则与反向共线，此时夹角为平角；‎ C．利用逆否命题的定义即可判断出；‎ D．利用命题的否定即可判断出．‎ ‎【解答】解：A．若向量∥，，则不存在实数λ使得=2λ，不正确；‎ B．若，＜0，则与反向共线，此时夹角为平角，不正确；‎ C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1，正确；‎ D．命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，不正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了向量共线定理及其夹角公式、逆否命题的定义、命题的否定，考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（　　）‎ A． B． C．5 D．3‎ ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），‎ ‎∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），‎ ‎∴2a﹣3与a+2关于x=3对称，‎ ‎∴2a﹣3+a+2=6，‎ ‎∴3a=7，‎ ‎∴a=，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目．‎ ‎　‎ ‎5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=（　　）‎ A．27 B．81 C．243 D．729‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 从而可求a2，结合S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）‎ 考虑n=1可得，S2=a1+a2=4a1从而可得a1及公比 q，代入等比数列的通项公式可求a6‎ ‎【解答】解：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 即a2=3‎ 因为S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）‎ 所以n=1时有，S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1，q=3‎ 所以，a6=1×35=243‎ 故选C - 22 -‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的性质，等比数列的前 n项和公式及通项公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎6．设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（　　）‎ A．f（x）的图象过点（0，），‎ B．f（x）的一个对称中心是（，0）‎ C．f（x）在[，]上是减函数 D．将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象 ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】先根据已知，求出周期，ω，φ的值，从而可得函数解析式，再根据三角函数的单调性、周期性、对称性即可判断．‎ ‎【解答】解：因为函数的周期为π，所以ω=2，又函数图象关于直线x=π对称，‎ 所以由f（x）=3sin（2x+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），‎ 可知2×π+φ=kπ+，φ=kπ﹣，﹣＜φ＜，‎ 所以k=1时φ=．‎ ‎∴函数的解析式为：f（x）=3sin（2x+）．‎ 当x=0时f（0）=，所以A不正确．‎ 当x=时f（x）=0．函数的一个对称中心是（，0）B正确；‎ 当＜x＜，2x+∈[，]，函数不是单调减函数，C不正确；‎ f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sin（ωx+φ﹣ωφ）的图象，不是函数y=3sinωx的图象，D不正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性、周期性、对称性，三角函数解析式的求法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．图一是某校学生身高的条形统计图，从左到右表示学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如A2表示身高在[150，155）内的人数）．图二是统计图一中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在[160，180）内的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件及输出的s值分别是（　　）‎ - 22 -‎ A．i＜6，1000 B．i＜7，1500 C．i＜8，1850 D．i＜9，2050‎ ‎【考点】频率分布直方图；程序框图．‎ ‎【专题】计算题；概率与统计．‎ ‎【分析】该流程图的目的是算出身高在[160，180）内的学生人数，因此循环体需计算i=4、5、6、7时，四个Ai的和，由此可得判断框内应填写的条件是：“i＜8”．再根据统计条形图，不难算出这四个小组的频数之和，得到本题的答案．‎ ‎【解答】解：为了统计身高在[160，180）内的学生人数，先算出从160到180的小组分别有 ‎[160，1165），[165，170），[170，175），[175，180）共有四组，分别为第4组、第5组、第6组和第7组．‎ 因此，当i=4时开始，直到i=7时算出这四组的频数之和，‎ 说明i≥8时结束循环而输出结果，可得判断框内应填写的条件是：“i＜8”‎ ‎∵第4组的频数A4=450，第5组的频数A5=550，第6组的频数A6=500，第7组的频数A7=350，‎ ‎∴输出的和s=A4+A5+A6+A7=450+550+500+350=1850‎ 故答案为：C ‎【点评】本题以统计条形图为载体，计算身高在[160，180）内的学生人数，考查了频率直方分布图的理解和循环结构的程序框图等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm，蛋槽立起来的小三角形部分高度是，鸡蛋的半径根据已知的表面积4π=4πr2得到r=1cm，直径D=2cm，大于折好的蛋巢边长1cm，由此能求出鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离．‎ - 22 -‎ ‎【解答】解：蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm，‎ 蛋槽立起来的小三角形部分高度是，‎ 鸡蛋的半径根据已知的表面积4π=4πr2得到r=1cm，直径D=2cm，大于折好的蛋巢边长1cm，‎ 四个三角形的顶点所在的平面在鸡蛋表面所截取的小圆直径就是蛋槽的边长1cm，‎ 根据图示，AB段由三角形AB求出得：AB=，‎ AE=AB+BE=，‎ ‎∴鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查点、线、面间距离的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地化空间问题为平面问题，注意数形结合法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎9．已知椭圆C1： +=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为（　　）‎ A． B．4 C． D．9‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ ‎【分析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出，由此能求出4e12+e22的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，‎ 令P在双曲线的右支上，‎ 由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，①‎ 由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②‎ 又∵PF1⊥PF2，‎ ‎∴=4c2，③‎ - 22 -‎ ‎①2+②2，得=，④‎ 将④代入③，得，‎ ‎∴4e12+==+‎ ‎=‎ ‎≥=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查4e12+e22的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．‎ ‎　‎ ‎10．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=ax•g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【考点】简单复合函数的导数；数列的函数特性．‎ ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】由f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可得单调递增，从而可得a＞1，结合，可求a．利用等比数列的求和公式可求，从而可求 ‎【解答】解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），‎ ‎∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，‎ ‎∴，‎ 从而可得单调递增，从而可得a＞1，‎ ‎∵，‎ ‎∴a=2．‎ 故 ‎=2+22+…+2n=．‎ - 22 -‎ ‎∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*．‎ ‎∴n=6．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性，等比数列的求和公式的求解，解题的关键是根据已知构造函数单调递增．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎11．设二项式的展开式中常数项为A，则A=　﹣10　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【专题】排列组合．‎ ‎【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．‎ ‎【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 Tr+1=••（﹣1）r•=（﹣1）r••．‎ 令=0，解得r=3，故展开式的常数项为﹣=﹣10，‎ 故答案为﹣10．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则=　．　，|+2|=　2　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】设=（x，y），利用=1， =2x=2×1×cos60°，解出即可．‎ ‎【解答】解：设=（x，y），‎ 则=1， =2x=2×1×cos60°，‎ 解得x=，y=．‎ ‎∴．‎ ‎=．‎ - 22 -‎ ‎|+2|==2．‎ 故答案分别为：；2．‎ ‎【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎13．记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}和集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计．‎ ‎【分析】由题意和三角形以及圆的面积公式可得区域的面积，由概率公式可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得A表示圆心为原点半径为4的圆及其内部，‎ 由圆的面积公式可得Ω1的面积S=π×42=16π，‎ 集合B表示的平面区域为两直角边都为4的直角三角形，‎ ‎∴由三角形的面积公式可得Ω2的面积S′=×4×4=8，‎ ‎∴点M落在区域Ω2的概率P==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查几何概型，涉及圆和三角形的面积公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎14．设，则函数的最大值为　　．‎ ‎【考点】三角函数的最值．‎ ‎【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的求值．‎ ‎【分析】变形可得2x∈（0，π），y=﹣，表示点（cos2x，sin2x）和（2，0）连线斜率的相反数，点（cos2x，sin2x）在单位圆的上半圆，数形结合可得．‎ ‎【解答】解：∵，∴2x∈（0，π），‎ 变形可得y==﹣，‎ 表示点（cos2x，sin2x）和（2，0）连线斜率的相反数，‎ 而点（cos2x，sin2x）在单位圆的上半圆，‎ 结合图象可得当直线倾斜角为150°（相切）时，‎ 函数取最大值﹣tan150°=，‎ 故答案为：．‎ - 22 -‎ ‎【点评】本题考查三角函数的最值，转化为斜率并数形结合是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎　‎ ‎15．已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），则m+n的值为　21　．‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】p＞q＞0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1；第二次得：c2=（p+1）2（q+1）﹣1；所得新数大于任意旧数，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1，故可得结论．‎ ‎【解答】解：因为p＞q＞0，所以第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1，‎ 因为c＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）﹣1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）﹣1，‎ 所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）﹣1=（p+1）3（q+1）2﹣1，‎ 第四次可得：c4=（c3+1）（c2﹣1）﹣1=（p+1）5（q+1）3﹣1，‎ 故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1，‎ 因为经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），‎ 所以m=8，n=13，‎ 所以m+n=21．‎ 故答案为：21．‎ ‎【点评】本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，求出经过6次操作后扩充所得的数是关键．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．已知f（x）=•，其中=（2cosx，﹣sin2x），=（cosx，1），x∈R．‎ ‎（1）求f（x）的单调递减区间；‎ ‎（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，且向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，求边长b和c的值．‎ - 22 -‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．‎ ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】（1）利用向量的数量积公式得到f（x）的解析式，然后化简求单调区间；‎ ‎（2）利用向量共线，得到b，c的方程解之．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知．3分 ‎∵y=cosx在a2上单调递减，∴令，得 ‎∴f（x）的单调递减区间，6分 ‎（2）∵，∴，又，∴，即，8分 ‎∵，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7.10分 因为向量与共线，所以2sinB=3sinC，由正弦定理得2b=3c．‎ ‎∴b=3，c=2.12 分．‎ ‎【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用以及三角函数的化简与性质的运用．‎ ‎　‎ ‎17．空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：‎ 城市 ‎ AQI数值 城市 ‎ AQI数值 城市 ‎ AQI数值 城市 ‎ AQI数值 城市 ‎ AQI数值 城市 ‎ AQI数值 城市 ‎ AQI数值 广州 ‎118‎ 东莞 ‎137‎ 中山 ‎95‎ 江门 ‎78‎ 云浮 ‎76‎ 茂名 ‎107‎ 揭阳 ‎80‎ 深圳 ‎94‎ 珠海 ‎95‎ 湛江 ‎75‎ 潮州 ‎94‎ 河源 ‎124‎ 肇庆 ‎48‎ 清远 ‎47‎ 佛山 ‎160‎ 惠州 ‎113‎ 汕头 ‎88‎ 汕尾 ‎74‎ 阳江 ‎112‎ 韶关 ‎68‎ 梅州 ‎84‎ ‎（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：‎ 空气质量 优质 良好 轻度污染 中度污染 AQI值范围 ‎[0，50）‎ ‎[50，100）‎ ‎[100，150）‎ ‎[150，200）‎ 城市个数 ‎（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法．‎ ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（1）根据已知数据，能完成表格．‎ ‎（2）按分层抽样的方法，抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）根据数据，完成表格如下：‎ - 22 -‎ 空气质量 优质 良好 轻度污染 中度污染 AQI值范围 ‎[0，50）‎ ‎[50，100）‎ ‎[100，150）‎ ‎[150，200）‎ 城市频数 ‎2‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎…（2分）‎ ‎（2）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取个，…（3分）‎ 从“轻度污染”类城市中抽取个，…（4分）‎ 所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．‎ 根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3．‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎．…（8分）‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p 所以． …（11分）‎ 答：ξ的数学期望为2个．…（12分）‎ ‎【点评】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．‎ ‎　‎ ‎18．如图，△ABC的外接圆⊙O半径为，CD⊥⊙O所在的平面，BE∥CD，CD=4，BC=2，且BE=1，tan∠AEB=2．‎ ‎（1）求证：平面ADC⊥平面BCDE；‎ ‎（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．‎ - 22 -‎ ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（1）由已知的线面垂直得到CD⊥AC，然后利用正切值判断AB是直径，得到AC⊥BC即可，利用线面垂直的判定定理可证．‎ ‎（2）过点M作MN⊥CD于N，连接AN，作MF⊥CB于F，连接AF，可得∠MAN为MA与平面ACD所成的角，设MN=x，则由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为，我们可以构造关于x的方程，解方程即可求出x值，进而得到点M的位置．‎ ‎【解答】证明：（1）∵CD⊥⊙O所在的平面，AC⊂⊙O所在的平面，‎ ‎∴CD⊥AC，‎ 又BE∥CD，‎ ‎∴BE⊥⊙O所在的平面，‎ ‎∴BE⊥AB，‎ 又tan∠AEB=2=．‎ ‎∴AB=2，∴AB是圆的直径，∴AC⊥BC，‎ CD∩BC=C，‎ ‎∴平面ADC⊥平面BCDE；…（6分）‎ ‎（2）假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连接AN，作MF⊥CB于F，连接AF，‎ ‎∵平面ADC⊥平面BCDE，∴MN⊥平面ACD，‎ ‎∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角， ‎ 设MN=x，计算易得，DN=x，MF=4﹣x，‎ 故AM===，sin∠MAN===，‎ 解得：x=﹣（舍去） x=，…（13分）‎ 故MN=CB，从而满足条件的点M存在，且DM=DE．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角、平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得CD⊥平面ABC，（2）的关键是直线AM与平面ACD所成角的正弦值为，构造满足条件的方程 - 22 -‎ ‎　‎ ‎19．已知x∈[0，1]，函数f（x）=x2﹣ln（x+），g（x）=x3﹣3a2x﹣4a．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间和值域；‎ ‎（2）设a≤﹣1，若∀x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．‎ ‎【分析】（1）求导数f′（x）=2x﹣=；从而由导数的正负确定函数的单调区间及值域；‎ ‎（2）设g（x）在[0，1]上的值域为[b，c]，则有b≤且c≥ln2；再求导g′（x）=3x2﹣3a2，从而确定函数的单调性，从而化为最值问题．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=2x﹣=；‎ 令f′（x）＜0解得，0≤x＜；‎ 故函数f（x）的单调减区间为[0，]，‎ 此时，≤f（x）≤ln2；‎ 令f′（x）＞0解得，＜x≤1；‎ 故函数f（x）的单调增区间[，1]，‎ 此时，≤f（x）≤ln3﹣ln2；‎ 故函数f（x）的值域为[，ln2]．‎ ‎（2）根据所给条件，设g（x）在[0，1]上的值域为[b，c]，‎ 则有b≤且c≥ln2；‎ g′（x）=3x2﹣3a2＜0，‎ g（x）在[0，1]上是单调减函数，‎ 故g（0）=﹣4a≥ln2，‎ 解得a≤﹣；‎ g（1）=1﹣3a2﹣4a≤，‎ 解得a≤﹣或a≥；‎ - 22 -‎ 故a≤﹣．‎ ‎【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的性质应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．已知抛物线F的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1）．‎ ‎（1）求抛物线F的方程；‎ ‎（2）若点P为抛物线F的准线上的任意一点，过点P作抛物线F的切线PA与PB，切点分别为A，B．求证：直线AB恒过某一定点；‎ ‎（3）分析（2）的条件和结论，反思其解题过程，再对命题（2）进行变式和推广，请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）设出抛物线的方程，根据焦点的坐标，求出抛物线的方程健康；‎ ‎（2）设出切点坐标，得到方程组，分别用斜率表示切点的横坐标，设出定点的坐标并求出定点的坐标，从而得证，‎ ‎（3）根据（2）的条件和结论写出即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意设抛物线的方程为：x2=2py，（p＞0），‎ 由焦点为F（0，1）可知=1，∴p=2，‎ ‎∴所求抛物线方程为：x2=4y；‎ ‎（2）设切点A、B坐标为（x1，），（x2，），设P（m，﹣1），‎ 易知直线PA、PB斜率必存在，‎ 可设过点P的切线方程为：y+1=k（x﹣m），‎ 由，消去y并整理得：x2﹣4kx+4（km+1）=0，…①，‎ ‎∵切线与抛物线有且只有一个交点，‎ ‎∴△=（4k）2﹣16（km+1）=0，整理得：k2﹣mk﹣1=0，…②，‎ ‎∴直线PA、PB的斜率k1，k2为方程②的两个根，故k1•k2=﹣1，‎ 由△=0可得方程①的解为x=2k，‎ ‎∴x1=2k1，x2=2k2，‎ 假设存在一定点，使得直线AB恒过该定点，‎ 则由抛物线对称性可知该定点必在y轴上，‎ 设该定点为C（0，c），‎ 则=（x1，﹣c），=（x2，﹣c），‎ ‎∴∥，‎ - 22 -‎ ‎∴x1（﹣c）﹣（﹣c）x2=0，‎ ‎∴c（x1﹣x2）=（x2﹣x1），‎ ‎∴x1≠x2，‎ ‎∴c=﹣=﹣=1，‎ ‎∴直线AB过定点（0，1），‎ ‎（3）若点P为直线l：y=t（t＜0）上的任意一点，过点P作抛物线F：x2=2py（p＞0）的切线PA、PB的切点分别是A、B，‎ 则直线AB恒过定点（0，﹣t）．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的标准方程与性质、直线与抛物线的位置关系、归纳推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．‎ ‎　‎ 四、（本小题满分14分）本题设有21、22、23三个选答题，每小题14分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，在答题卡上把所选题号填入括号中.[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎21．已知矩阵M=，记绕原点逆时针旋转的变换所对应的矩阵为N．‎ ‎（Ⅰ）求矩阵N； ‎ ‎（Ⅱ）若曲线C：xy=1在矩阵MN对应变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程．‎ ‎【考点】几种特殊的矩阵变换．‎ ‎【专题】选作题；立体几何．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用矩阵变换公式，即可求矩阵N； ‎ ‎（Ⅱ）求出MN，可得坐标之间的关系，代人方程xy=1整理，即可求曲线C′的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知得，矩阵N=．…（3分）‎ ‎（Ⅱ）矩阵MN=，它所对应的变换为解得 把它代人方程xy=1整理，得（y′）2﹣（x′）2=4，‎ 即经过矩阵MN变换后的曲线C′方程为y2﹣x2=4…（7分）‎ ‎【点评】本题给出矩阵变换，求曲线C在矩阵M对应变换作用下得到的曲线C'方程，着重考查了矩阵与变换的运算、曲线方程的求法等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ - 22 -‎ ‎22．（2014秋•漳州校级期末）已知直线l的参数方程是（其中t为参数），圆C的极坐标方程为，‎ ‎（Ⅰ）将圆C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程．‎ ‎（Ⅱ）过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．‎ ‎【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．‎ ‎【分析】（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程；消去参数，可得直线l的参数方程．‎ ‎（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，‎ ‎∴x2+y2=x﹣y，即（x﹣）2+（y+）2=1，‎ ‎∴圆C是以M（，﹣）为圆心，1为半径的圆 化直线l的参数方程（t为参数）为普通方程：x﹣y+4=0，…（3分）‎ ‎（Ⅱ）∵圆心M（，﹣）到直线l的距离为d==5，…（5分）‎ 要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心M（，﹣）到直线的距离d，‎ 由勾股定理求得切线长的最小值为==2．…（7分）‎ ‎【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．（2014•漳州三模）设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣3|，‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小值m ‎（Ⅱ）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．‎ ‎【考点】二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．‎ ‎【专题】选作题；不等式．‎ - 22 -‎ ‎【分析】（Ⅰ）法1：f（x）=|x﹣4|+|x﹣3|≥|（x﹣4）﹣（x﹣3）|=1，可得函数f（x）的最小值；法2：写出分段函数，可得函数f（x）的最小值；‎ ‎（Ⅱ）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2=1‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）法1：f（x）=|x﹣4|+|x﹣3|≥|（x﹣4）﹣（x﹣3）|=1，‎ 故函数f（x）的最小值为1．m=1．…（4分）‎ 法2：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）‎ x≥4时，f（x）≥1；x＜3时，f（x）＞1，3≤x＜4时，f（x）=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）‎ 故函数f（x）的最小值为1．m=1．…（4分）‎ ‎（Ⅱ）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）‎ 故a2+b2+c2≥﹣…（6分）‎ 当且仅当时取等号…（7分）‎ ‎【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查二维形式的柯西不等式，属于中档题．‎ ‎　‎ - 22 -‎