黑龙江省哈尔滨市第六中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理.doc

哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试 高二理科数学 一.选择题(共12题,每题5分)‎ ‎1．复数（其中为虚数单位）的虚部是( )‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2. 已知, .若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15:3:2．为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中业务人员人数为30，则此样本的容量为（ ）‎ A.20 B‎.30 C．40 D．80‎ ‎4．已知直线平面,直线平面,给出下列命题：‎ ‎ ①∥； ②∥； ③∥ ④∥； ‎ 其中正确命题的序号是( )‎ ‎ A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④‎ ‎5. 下列说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题为真命题 B.“”是“”的必要不充分条件 C. 命题“”的否定是“”‎ D. 命题“若，则”的否命题为“若，则”‎ ‎6．设随机变量服从正态分布，若，则 ‎=( ）‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎7．如右图，已知为如图所示的程序框图输出结果，二项式的 ‎ 展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（ ）‎ A．4 B．‎5 ‎ C．6 D．7‎ ‎8．先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上 的点数分别为，设事件为“为偶数”，事件为“中有偶数，且”，则概率 ‎=( )‎ 8‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊 花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是( )‎ A．1 2 B．‎24 C．36 D．48‎ 甲　‎ 茎 ‎　乙 ‎5　7‎ ‎1‎ ‎6　8‎ ‎8　8　2‎ ‎2‎ ‎3　6　7‎ ‎11. 甲、乙两名运动员的5次测试成绩如右图所示. 设分 ‎ 别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差, 分别 ‎ 表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ）‎ A. , B. ，‎ C.， D.，‎ ‎12．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，⊥平面，，，‎ ‎，，则球的表面积为( )‎ A． B． C． D．‎ 二.填空题(共4题,每题5分)‎ ‎13．袋中有大小相同的红色、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸3次，3次摸到的红球比白球多1次的概率为___________________．‎ ‎14. 设为正整数,，经计算得，,‎ ‎，……观察上述结果，对任意正整数，可推测出一般结论是____________ .‎ ‎15. 向面积为的内任投一点，则的面积小于的概率为 .‎ ‎16．如图，在直三棱柱中，，点 ‎ 是线段上的一点，且，，则点到平面 ‎ 的距离为_______.‎ 三.解答题(共6题,共70分)‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ 某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利润（元）与该周每天销售这种服装件数 之间有如下一组数据：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎66‎ ‎69‎ ‎73‎ ‎81‎ ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ 已知.‎ 8‎ ‎(1)求； （2）求纯利润与每天销售件数之间的回归方程.‎ ‎(参考公式：)‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0-50为优秀，各类人群可正 空气质量指数 频率 组距 ‎0.032‎ ‎0.020‎ ‎0.018‎ O ‎5‎ ‎15‎ ‎25‎ ‎35‎ ‎45‎ 常活动.环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，由此得到本的空气质量指数频率分布直方图，如图.‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；‎ ‎(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图三棱柱中，侧面为菱形，.‎ ‎(1) 证明：；‎ ‎(2)若，，,‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：‎ 8‎ 组别 理科 文科 性别 男生 女生 男生 女生 人数 ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ 学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．‎ ‎(Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率；‎ ‎(Ⅱ)设文科男生被选出的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ ‎ 如图是某几何体的直观图与三视图的侧视图、俯视图. 在直观图中，,是 的中点. 侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.‎ ‎（1）在答题纸上的虚线框内画出该几何体的正视图，并标上数据；‎ ‎（2）求证：∥平面；‎ ‎（3）试问在边上是否存在点，使⊥平面. 若存在，确定点的位置；若不存在，‎ 请说明理由.‎ 8‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 设直线与椭圆相交于两个不同的点，与轴相交于点，记为坐标原点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若, 求△的面积取得最大值时的椭圆方程.‎ 8‎ 高二理科数学答案 一.选择题 ‎ CACDD CBBAB BD 二.填空题 ‎ 13. 14. 15. 16.3‎ 三.解答题 ‎17.(1)‎ ‎ (2) ‎ ‎18.(1) 解：由题意，得， ……………1分 ‎ 解得. ……………2分 ‎（2）解：个样本中空气质量指数的平均值为 ‎ ……………3分 由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. …………4分 ‎（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，‎ 且指数达到“特优等级”的概率为，则 ………5分 ‎ 的取值为， ………6分 ‎ ， ，‎ ‎ ， . ……………10分 ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ∴的分布列为：‎ ‎ ……11分 ‎∴. ………12分 ‎ （或者）‎ ‎19. (Ⅰ)连结，交于，连结．因为侧面为菱形，所以^，‎ 且为与的中点．又，所以平面，故=又 ，故 ……… 4分 ‎（Ⅱ）因为且为的中点，所以= ‎ 又因为，所以.‎ 8‎ 故，从而,两两互相垂直． ‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示空间直角坐标系． 因为，所以为等边三角形．又，则 ‎，，，‎ ‎， ‎ 设是平面的法向量，则 ‎， 即 所以可取 设是平面的法向量，则， 同理可取 则，所以二面角的余弦值为. 12分 ‎20. 解：(Ⅰ) （4分） ‎ ‎(Ⅱ) 由题意得，于是的分布列为 ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（只写出正确分布列表格的扣4分） 的数学期望为（12分）‎ ‎21.（1）正视图如图所示.（注：不标中间实线扣1分）………………2分 ‎ （2）证明：俯视图和侧视图，得，‎ ‎ ,，，，平面,‎ ‎ .取的中点，连接、，‎ ‎ 则，且 …4分 ‎∴平行且等于, ∴四边形EAFM是平行四边形，‎ ‎∴，又平面，‎ ‎∴平面.…………………………7分 ‎ （3）解，以为原点，以的方向为轴的正方向，的方 ‎ 8‎ 向为轴正方向，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎ 则有（0，0，0），（0，0，2），（0，2，0），‎ ‎ （－2，0，3），（0，2，1），（－2，0，0）.‎ ‎ 设（－2，－2，2），（0，－2，1），‎ ‎ （2，2，0），（2，2，1）.‎ ‎ 假设在边上存在点满足题意，‎ ‎ ‎ ‎ ∴边上存在点，满足时，⊥平面………………12分 ‎22. (I）解：依题意，直线显然不平行于坐标轴，故 将，‎ 得 ①‎ 由直线l与椭圆相交于两个不同的点 ‎，即… 5分 ‎（II）解：设由①，得 因为，代入上式，得 ……………8分 于是，△的面积 ‎ 其中，上式取等号的条件是 由 ‎ 将这两组值分别代入①，均可解出 所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是………12分 8‎