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2017—2018学年第二学期期末高二联考
数学文科试题
本试卷共150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分
1.设全集，则等于 （ ）
A． B． C． D．
2已知复数满足，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
3. 设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
5．若x，y 满足，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．4
6 已知，则
A B C D
7已知函数，下列结论错误的是（ ）
（A）的最小正周期为 （B）在区间上是增函数
（C）的图象关于点对称 （D）的图象关于直线对称
8．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
9 上图中的程序框图表示求三个实数中最大数的算法，那么在空白的判断框中，应该填入
（A） （B） （C） （D）
10边长为的两个等边,所在的平面互相垂直，则四面体的外接球的表面积为
A B C D
11. 已知抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．[来源:学&科&网Z&X&X&K]
12已知方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
第II卷
二 、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.某单位有名职工，现采用系统抽样方法抽取人做问卷调查，将人按，
…随机编号，则抽取的21人中，编号落入区间的人数为
14在中，，是边的中点，则 .
15.若点在直线上，则的最小值是 .
16在中，角所对的边分别为,，则
三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分12 分）已知数列是等比数列，其前n项和为，满足，。
（I）求数列的通项公式；（II）是否存在正整数n，使得＞2016？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由。
18.(本小题满分12分)
某校为了解本校学生在校小卖部的月消费情况，随机抽取了60名学生进行统计．得到如下样本频数分布表：
月消费金额（单位：元）
人数[
30
6
9
10
3
2
记月消费金额不低于300元为“高消费”，已知在样本中随机抽取1人，抽到是男生“高消费”的概率为.
（Ⅰ）从月消费金额不低于400元的学生中随机抽取2人，求至少有1人月消费金额不低于500元的概率；
（Ⅱ）请将下面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“高消费”与“男女性别”有关，说明理由.
高消费
非高消费
合计
男生
女生
25
合计
60
下面的临界值表仅供参考：
P()
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
（参考公式：，其中）
19.(本小题满分12分)
如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
DC＝2AB＝2a，DA＝a，E为BC中点．
（1）求证：平面PBC⊥平面PDE；
（2）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF?若存在，找出具体位置，并进行证明：若不存在，请分析说明理由．
20．（本小题满分12 分）已知椭圆C：的离心率为，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜AB｜＝2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且直线PA，PB与直线x＝4分别交于M ， N 两点．是否存在点P使得以MN 为直径的圆经过点D（2,0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由。
21．（本小题满分12 分）已知函数f (x) ＝
（Ⅰ）求曲线f (x)在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f (x)的零点和极值；
（Ⅲ）若对任意，都有成立，求实数的最小值。
[来源:学科网]
请考生在第22、23题中任选一题做答，做答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（为参数），若以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，设是圆上任一点，连结并延长到，使.
(Ⅰ) 求点轨迹的直角坐标方程；
(Ⅱ) 若直线与点轨迹相交于两点，点的直角坐标为，求的值.
23．（本小题满分10分）设函数
（Ⅰ）若函数f(x)有最大值，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=1，求不等式f(x)＞|2x-3|的解集
2017—2018学年第二学期期末高二联考
数学文科答案
A BDBC DDADC CA（13）； （14）； （15）8； （16）．
17.解：(Ⅰ) 设数列的公比为，[来源:学科网ZXXK]
因为，所以. 因为所以
又因为， 所以,
所以（或写成） ..............................6
(Ⅱ)因为.
令, 即，整理得.
当为奇数时，原不等式等价于，解得，
所以满足的正整数的最小值为11. ...................12
18解：（Ⅰ）样本中，月消费金额在的3人分别记为，，.
月消费金额在大于或等于的2人分别记为，. 1分
从月消费金额不低于400元的5个中，随机选取两个，其所有的基本事件如下：
，，，，，，，，，，共10个. 3分
记“至少有1个月消费金额不低于500元”为事件
则事件包含的基本事件有，，，，，，，共7个. 5分
所以至少有1个月消费金额不低于500元的概率为. 6分
（Ⅱ）依题意，样本中男生“高消费”人数. 7分
高消费
非高消费
合计
男生
10
20[
30
女生
5
25
30
合计
15[来源:学§科§网Z§X§X§K]
45
60
9分
.
所以没有90%的把握认为“高消费”与“男女性别”有关. 12分
19解：证明:（1）连结
所以 为中点
所以 又因为平面, 所以
因为 所以平面
因为平面,所以平面平面………………6分
（2）当点位于三分之一分点(靠近点)时, 平面
连结交于点
,所以相似于
又因为，所以
从而在中, 而 所以 [来源:学+科+网Z+X+X+K]
而平面 平面 所以平面 ……………12分
20 解：（Ⅰ）由已知，得知，
又因为离心率为，所以.
因为，所以,
所以椭圆的标准方程为. ……………………….5分
（Ⅱ）解法一：假设存在.
设
由已知可得，
所以的直线方程为，
的直线方程为，
令，分别可得，，
所以，
线段 的中点，
若以为直径的圆经过点D（2,0），
则,
因为点在椭圆上，所以，代入化简得，
所以， 而，矛盾，
所以这样的点不存在. ……………………….12分
（还可以以为直径， 推矛盾）
21.解：（Ⅰ）因为，
所以.
因为，所以曲线在处的切线方程为.……………..3分
（Ⅱ）令，解得，
所以的零点为.
由解得，
则及的情况如下：
2
0
极小值
所以函数在 时,取得极小值 ……………………….8分
（Ⅲ）法一：
当时，.
当时，.
若，由（Ⅱ）可知的最小值为，的最大值为，
所以“对任意，有恒成立”等价于
即， 解得. 所以的最小值为1. ….12分
法二：当时，. 当时，.
且由（Ⅱ）可知，的最小值为，
若，令，则
而，不符合要求，
所以. 当时，,
所以，即满足要求，
综上，的最小值为1. ……….12分
22. 解：（Ⅰ）圆的直角坐标方程为，设，则，
∴
∴这就是所求的直角坐标方程……………5分
（Ⅱ）把代入，即代入
得，即
令对应参数分别为，则，
所以………………10分
23．解：（1）
∵f(x)有最大值，∴1-a≥0且1+a≤0
解得a≤-1.最大值为f(2)=2 ……………5分
（2）即|x-2|-|2x-3|+x>0.
设g(x)= |x-2|-|2x-3|+x=,
由g(x)>0解得x>.原不等式的解集为{x|x>}. ………………………10分
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