广东省珠海市香洲区2014-2015学年九年级数学上学期期末检测试题
说明：1．全卷共4页。满分120分，考试用时100分钟。
2．答案写在答题卷上，在试卷上作答无效。
3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔和红色字迹的笔。
选择题：（本大题5小题，每小题3分，共15分）
1．下列平面图形中，是中心对称图形的是（ ）
2．一元二次方程 的根是（ ）
A. B. C. D.
3．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA和OB，若∠OBA=40°，
则∠ACB的度数为（ ）
A. 80° B. 40° C. 100° D. 50°
4．已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间y（单位：h）关于行驶速度x（单位：km/h）的函数图象是（ ）
5．抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （2，4） B. （2，－4） C. （－2，4） D. （4，4）
二、填空题：（本大题5小题，每小题4分，共20分）
6．香洲区某所中学下午安排三节课，分别是数学、体育、物理，把数学课安排在第一节课的概率为 ．
7．将抛物线向上平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式为 ．
8．在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减少，则的取值范围
为 ．
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=26，CD=24，
8
则= ．
10．如图，一个圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图是半圆．
则圆锥的母线长为 ．
三、解答题（一）：（本大题5小题，每小题6分，共30分）
11．解方程：．
12． 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．
13. 已知关于的一元二次方程．
（1）当时，判断方程的根的情况；
（2）当，求方程的根．
14．如图，在⊙O中弦AB与DC相交于点E，AE=EC．
求证：AD=BC．
15．如图，抛物线与双曲线交于点．
（1）求与的值；
（2）写出点A关于抛物线的对称轴
的对称点坐标 ．
8
四．解答题（二）：（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16．从四张分别写有—2，—1，0，1的卡片中，随机抽取两张，将卡片的数字分别作为抛物线的和值，求抛物线的顶点在第三象限的概率．
17．张师傅2014年1月份开了一家商店．2014年9月份开始盈利，10月份盈利2400元，12月份的盈利达到3456元，且从10月到12月，每月盈利的平均增长率都相同．
（1）求2014年10月到12月，每月盈利的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计2015年1月份这家商店的盈利将达到多少元？
18．如图，正方形ABCD顶点C的坐标为（5，4），顶点A在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过AC与BD的交点E，与边BC交于点F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线AF的解析式．
19．矩形ABCD中，∠DBA=60°，把△ABD绕点B逆时针旋转使得点A落在BD上，点A对称点为点A1，点D对称点为点D1，A1 D1与BC交于点E，连接D1C．
（1）求证：EC=E A1；
（2）求证：点D1、C、D在同一直线上．
五、解答题（三）：（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20. 所谓配方，就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式.配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外，在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用，是一种很重要、很基本的数学方法.如以下例1，例2：
例1 分解因式 例2 化简
8
解：原式= 解： 原式=
= =
= =
=
阅读以上材料，请回答以下问题：
（1）分解因式：= ；
（2）化简；
（3）利用配方法求的最小值.
21.如图，AB是⊙O直径，直径AB⊥弦CD于点E，四边形ADCF是平行四边形，CD=4，BE=2.
（1）求⊙O直径和弦AD的长；
（2）求证：FC是⊙O切线.
22．已知二次函数中和的部分对应值如下表：
…
－1
0
1
2
3
…
…
0
－3
－4
－3
0
…
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，点P是直线BC下方抛物线上一动点， 当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积；
（3）在抛物线上，是否存在一点Q，使△QBC中QC=QB？若存在请直接写出Q点的坐标．
备用图
2014-2015初三数学试卷参考答案及评分说明
说明：1．提供的答案除选择题外，不一定是唯一答案，对于与此不同的答案，只要是
正确的，同样给分．
2．评分说明只是按照一种思路与方法给出作为参考．在阅卷过程中会出现各种
8
不同情况，可参照评分说明，定出具体处理办法，并相应给分．
一、1. B 2. D 3. D 4. C 5. A
二、6. 7. 8. 9. 10. 4cm
三、解答题（一）：（本大题5小题，每小题6分，共30分）
11． 解：
…2分
…3分
…4分
…6分
12. 解：（1）图略； …3分
（2） …6分
13. 解：（1）当时，方程为
则 …2分
所以当时方程没有实数根 …3分
（2）当时，方程为
则 …5分
所以 ，即： …6分
14. 证明： ∵ ∠D=∠B ∠AED=∠CEB AE=EC …4分
∴ △AED≌△CEB …5分
∴ AD=BC …6分
15. 解：（1）因为抛物线与双曲线交于点
所以 …2分
8
所以A（-1，3） 所以 解得： …4分
（2） 点A关于抛物线的对称轴的对称点坐标 （3，3） …6分
四．解答题（二）：（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16. 解：抛物线顶点为在第三象限，所以和均小于0 …2分
由条件画出树状图如下：
…4分
所以 …6分 答：抛物线顶点在第三象限概率为 …7分
17. 解：（1）设2014年10月到12月，每月盈利的平均增长率为. …1分
由题意可得： …3分
解得： …4分
（2） 由题意：（元） …6分
答：2014年10月到12月，每月盈利的平均增长率为20%
按照这个平均增长率，预计2015年1月份这家商店的盈利将达到4147.2元．…7分
18. 解：（1）由条件，正方形性质可得：点E坐标为（3，2） …2分
则 所以 所以反比例函数解析式为： …3分
（2）由条件可求得：点A（1，0）和点B（5，0） 从而点F为（5，） …5分
设直线AF的解析式为 则 …6分
解得： 所以直线AF的解析式为 …7分
19. （1）证明：∵ 矩形ABCD ∠DBA=60°
∴ ∠ADB=∠DBC=30° AD=BC …1分
∵ △BA1 D1是△ABD绕点B逆时针旋转所得，且点A落在BD上
8
∴ ∠A1 BD1=∠ABD=60° , A1 D1=AD=BC, ∠BD1 A1 =∠ADB =30° …3分
∴ ∠D1B C=∠A1 BD1-∠DBC=60°-30°=30°
∴ ∠D1B E=∠ED1B …4分
∴ BE= ED1 …5分
∴ BC- BE= A1 D1- ED1
∴ EC=E A1 …6分
（2）证明：∵ BE= ED1 ∠B E A1=∠CED1 EC=E A1 …7分
∴ △B E A1≌△∠CED1 …8分
∴ ∠D1CE=∠B A1 E=90°
∴ ∠D1CE+∠BCD=90°+90°=180° …9分
即有： 点D1、C、D在同一直线上．
五、解答题（三）：（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20. （1） …2分
（2）解：=== …5分
（3）解：
==
所以的最小值为13． …9分
21. （1）设⊙O的半径为r，连接OC，则OC=r，OE=r－2
∵直径AB⊥弦CD
∴CE=CD=×4=2 …1分
在Rt△OCE中：OC2=CE2+OE2 即：r2=（r－2）2+（2）2 …2分
解得：r=4 …3分
∴AE=2×4－2=6
在Rt△AED中：AD== =4 …4分
∴⊙O直径为8，弦AD长为4． …5分
（2）连OF，
∵平行四边形ADCF中AF∥CD
又∵AB⊥CD ∴AB⊥AF即：∠FAO=90° …6分
8
由(1)可知AD=CD=4
∴平行四边形ADCF是菱形 …7分
∴FC=AF ∵OA=OC，OF=OF
∴△FCO≌△FAO …8分
∴∠FCO=∠FAO=90°即：OC⊥FC
∴FC是⊙O切线 …9分
22.解（1）设y=a（x+1）（x－3）把（0，－3）代入可得：－3=a（0+1）（0－3）
解得：a=1则y=（x+1）（x－3）= x2－2x－3
∴二次函数的解析式为：y=x2－2x－3 …3分
（其他方法求解析式亦可，类比给出评分标准）
（2）S四边形ABPC=S△ABC+S△BPC=×1×3+S△BPC
由B（3，0）和C（0，-3）可知：LBC：y=x－3
过P作PN⊥x轴交直线BC于点M，设P（x，x2－2x－3）则M（x，x－3）
∴MP= x－3－（x2－2x－3）=－x2+3x
S△BPC= S△PCM+ S△PMB=PM·ON+ PM·NB
= PM·OB=（－x2+3x）×3=－ x2+x=－（x－）2+（0＜x＜3） …5分
当x=时，S△BPC的最大值为，则 S四边形ABPC的最大值为：+= …6分
此时P（，－） …7分
存在．Q1（ ，－ ） 、Q2（，－） …9分
8
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