《向心力》
基础达标
1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是( )
A．合力的大小不变，方向一定指向圆心
B．合力的大小不变，方向也不变
C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小
D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小
【解析】 匀速圆周运动的合力等于向心力，由于线速度v的大小不变，故F合只能时刻与v的方向垂直，即指向圆心，故A正确；由于F合时刻指向圆心，故其方向必须时刻改变才能时刻指向圆心，否则F就不能时刻指向圆心了，故B错；由合力F合的方向时刻与速度的方向垂直而沿切线方向无分力，故该力只改变速度的方向，不改变速度的大小，C错、D对．
【答案】 AD
2．在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周运动．下列说法中正确的是( )
A．l、ω不变，m越小线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
【解析】 小球在光滑的水平面上做匀速圆周运动，线的拉力提供向心力，由向心力公式得F＝mω2l，当l、ω不变时，F与m成正比，A错误；m、ω不变时，F与l成正比，B错误；当m、l不变时，F与ω2成正比，C正确；m不变，l减半，ω加倍时，线的拉力变为原来的2倍，D错误．
【答案】 C
3．游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达到20 m/s2，g取10 m/s2，那么此位置座椅对游客的作用力是游客重力的( )
A．1倍 B．2倍
C．3倍 D．4倍
【解析】 游客在最低点做圆周运动，座椅的支持力FN和重力G的合力提供向心力，则有FN－mg＝man.解得FN＝m(g＋an)＝3mg，C正确．
【答案】 C
4.
如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，且与圆盘相对静止，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为b方向
B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向
【答案】 D
5.
6
质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到球对其作用力的大小为( )
A．mω2R B．m
C．m D．不能确定
【解析】 对小球进行受力分析，小球受两个力：一个是重力mg，另一个是杆对小球的作用力F，两个力的合力产生向心力．由平行四边形定则可得：F＝m，再根据牛顿第三定律，可知杆受到球对其作用力的大小为F＝m.故选项C正确．
【答案】 C
6.
质量为m的直升机以恒定速率v在空中水平盘旋(如图所示)，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时空气对直升机的作用力大小为( )
A．m B．mg
C．m D．m
【解析】
直升机在空中水平盘旋时，在水平面内做匀速圆周运动，受到重力和空气的作用力两个力的作用，其合力提供向心力，Fn＝m.直升机受力情况如图所示，由几何关系得F＝＝m ，选项C正确．
【答案】 C
7.
如图所示，在水平转动的圆盘上，两个完全一样的木块A、B一起随圆盘做匀速圆周运动，转动的角速度为ω，已知木块A、B到圆盘中心O的距离为rA和rB，则两木块的向心力之比为( )
A．rA：rB B．rB：rA
C.： D.：
【解析】 木块A、B在绕O点转动的过程中，是木块与圆盘间的静摩擦力提供了向心力，因两木块旋转的角速度ω等大，质量一样，由向心力公式F＝mrω2得FA＝mrAω2，FB＝mrBω2，解得FAFB＝rArB.
【答案】 A
6
8.
如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为时，绳子对物体拉力的大小．
【解析】 (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，设转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝mωr，得ω0＝ .
(2)当ω＝ 时，ω>ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F＋μmg＝mω2r
即F＋μmg＝m··r，得F＝μmg
【答案】 (1) (2)μmg
9.
如图所示是一游乐转筒的模型图，它是一个半径约为3 m的直圆筒，可绕中间的轴转动，里面的乘客背靠圆筒壁站立．当转筒转速达到至少每分钟30圈时，乘客脚下的踏板突然脱落，要保证乘客的安全，使人随转筒一起转动而不掉下来，则乘客与转筒之间的动摩擦因数至少多大？(g取10 m/s2，π2＝10)
【解析】
乘客随转筒旋转时受三个力作用：重力mg、筒壁对他的支持力FN和静摩擦力Ff，如图所示．要使乘客随筒壁旋转不落下来，筒壁对他的最大静摩擦力至少等于重力．乘客做圆周运动的向心力由筒壁对他的支持力FN来提供．转速n＝ r/s＝0.5 r/s.转筒的角速度为ω＝2πn＝π rad/s.
由牛顿第二定律可得FN＝mrω2，Ff＝μFN＝mg
解得μ＝0.33
【答案】 0.33
能力提升
1.
6
小球A和B用细线连接，可以在光滑的水平杆上无摩擦地滑动，已知它们的质量之比m1m2＝31，当这一装置绕着竖直轴做匀速转动且A、B两球与水平杆达到相对静止时(如图所示)，A、B两球做匀速圆周运动的( )
A．线速度大小相等
B．角速度相等
C．向心力的大小之比为F1：F2＝3：1
D．半径之比为r1：r2＝3：1
【解析】 当两小球随轴转动达到稳定状态时，把它们联系在一起的同一根细线为A、B两小球提供的向心力大小相等；同轴转动的角速度相等；两小球的圆周轨道半径之和为细线的长度；两小球的线速度与各自的轨道半径成正比．
【答案】 B
2.
如图所示，A、B两个小球质量相等，用一根轻绳相连，另有一根轻绳的两端分别连接O点和B点，让两个小球绕O点在光滑水平桌面上以相同的角速度做圆周运动，若OB绳上的拉力为F1，AB绳上的拉力为F2，OB＝AB，则( )
A．F1：F2＝2：3 B．F1：F2＝3：2
C．F1：F2＝5：3 D．F1：F2＝2：1
【解析】 小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，设角速度为ω，在竖直方向上所受重力与桌面支持力平衡，水平方向不受摩擦力，绳子的拉力提供向心力．由牛顿第二定律，对A球有F2＝mr2ω2，对B球有F1－F2＝mr1ω2，已知r2＝2r1，各式联立解得F1＝F2.故B对，A、C、D错．
【答案】 B
3.
如图所示，将完全相同的两小球A、B，用长为L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触．由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比FB：FA为(g取10 m/s2)( )
A．1：1 B．1：2
C．1：3 D．1：4
【解析】 当车突然停下时，B不动，绳对B的拉力仍为小球的重力；A球向右摆动做圆周运动，则突然停止时A点所处的位置为圆周运动的最低点，根据牛顿第二定律得，FA－mg＝m，从而FA＝3mg，故FB：FA＝1：3，所以C正确．
【答案】 C
4.
6
如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上．小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止．则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
A．Q受到桌面的支持力变大
B．Q受到桌面的静摩擦力不变
C．小球P运动的角速度变大
D．小球P运动的周期变大
【解析】
根据小球做圆周运动的特点，设绳与竖直方向的夹角为θ，故FT＝，对物体进行受力分析，由平衡条件f＝FTsinθ＝mgtanθ，FN＝FTcosθ＋Mg＝mg＋Mg，故在θ增大时，Q受到的支持力不变，静摩擦力变大，A、B选项错误；由mgtanθ＝mLsinθω2，得ω＝，故角速度变大，周期变小，故C选项正确，D选项错误．
【答案】 C
5．一水平放置的圆盘，可以绕中心O点旋转，盘上放一个质量是0.4 kg的铁块(可视为质点)，铁块与中间位置用轻质弹簧连接，如图所示．铁块随圆盘一起匀速转动，角速度是10 rad/s时，铁块距中心O点30 cm，这时弹簧的拉力大小为11 N，g取10m/s2，求：
(1)圆盘对铁块的摩擦力大小；
(2)在此情况下要使铁块不向外滑动，铁块与圆盘间的动摩擦因数至少为多大？
【解析】 (1)铁块做匀速圆周运动所需要的向心力为F＝mω2r＝0.4×0.3×102 N＝12 N
弹簧拉力和摩擦力提供向心力FN＋Ff＝12 N
∴Ff＝12 N－FN＝1 N
(2)铁块即将滑动时Ff＝μmg＝1 N
动摩擦因数至少为μ＝＝0.25.
【答案】 (1)1 N (2)0.25
6.
6
如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ.
【解析】 (1)物块做平抛运动，在竖直方向上有H＝gt2①
在水平方向上有s＝v0t②
由①②式解得v0＝s
代入数据得v0＝1 m/s③
(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
fm＝m④
fm＝μN＝μmg⑤
由③④⑤式解得μ＝
代入数据得μ＝0.2.
【答案】 (1)1 m/s (2)0.2
6
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