第一章 质量评估检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列语句中，不能成为命题的是( )
A．指数函数是增函数吗？
B．2 012＞2 013
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．存在实数x0，使得x0＜0
解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D是命题，且是个特称命题．
答案：A
2．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：原命题是真命题，逆否命题为真命题，逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”是假命题，则否命题为假命题．
答案：B
3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：先求出两直线平行的条件，再判断与a＝1的关系．若l1∥l2，则2a－2＝0，∴a＝1.故a＝1是l1∥l2的充要条件．
答案：C
4．下列命题中的假命题是( )
A．存在x∈R，lgx＝0 B．存在x∈R，tanx＝1
C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞0
答案：C
5．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )
A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点
B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b
C．存在一个菱形不是平行四边形
D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋7＜0成立
解析：A、B为全称命题，但A为假命题；B是真命题．
答案：B
6．下列命题是真命题的是( )
A．“若x＝0，则xy＝0”的逆命题
B．“若x＝0，则xy＝0”的否命题
C．若x＞1，则x＞2
D．“若x＝2，则(x－2)(x－1)＝0”的逆否命题
解析：A中逆命题为：若xy＝0，则x＝0错误；选项B中，否命题为：若x≠0，则xy≠0，错误；选项C中，若x＞1，则x＞2显然不正确；D选项中，因为原命题正确，所以逆否命题正确．
答案：D
7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题是真命题的是( )
5
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，知B正确．
答案：B
8．已知命题p：任意x∈R，使x2－x＋＜0，命题q：存在x∈R，使sinx＋cosx＝，则下列判断正确的是( )
A．p是真命题 B．q是假命题
C．綈p是假命题 D．綈q是假命题
解析：∵任意x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立，
∴命题p假，綈p真；
又sinx＋cosx＝sin，当sin＝1时，sinx＋cosx＝.
∴q真，綈q假．
答案：D
9．给定下列命题：
①“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；
②“若sinα≠，则α≠”；
③“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题；
④命题“∃x0∈R，使x－x0＋1≤0”的否定．
其中假命题的序号是( )
A．①②③ B．②④
C．①③ D．②③④
解析：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，①错误；②的逆否命题为：若α＝则sinα＝正确，故②正确；若xy＝0，则x＝0或y＝0，③错误；④正确．
答案：C
10．若存在x∈R，使|x＋2|＋|x－1|＜a，则a的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，3] D．(－∞，3)
解析：令f(x)＝|x＋2|＋|x－1|，若∃x∈R，使f(x)＜a成立．即a＞f(x)min即可，∵f(x)＝|x＋2|＋|x－1|≥3，∴a＞3.
答案：A
11．下列说法错误的是( )
A．如果命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
B．命题p：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0，则綈p：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0
C．命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题是“若a，b都不是偶数，则a＋b不是偶数”
D．特称命题“∃x∈R，使－2x2＋x－4＝0”是假命题
解析：A中綈p是真命题，则p是假命题，p或q是真命题，∴q是真命题，故A正确．B中，特称命题的否定是全称命题，B正确．C中，命题的否命题应为“若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数”，故C错误．D中，方程－2x2＋x－4＝0无实根，D正确．
答案：C
12．下列命题中为真命题的是( )
5
A．若x≠0，则x＋≥2
B．“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件
C．直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交
D．若命题p：“∃x∈R，x2－x－1＞0”，则命题p的否定为：“∀x∈R，x2－x－1≤0”
解析：命题A为假命题；当x＜0时不成立；直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直的充要条件是a＝±1，故B为假命题；显然命题C也是假命题．
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“若a∉A，则b∈B”的逆否命题是________．
答案：若b∉B，则a∈A
14．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．
解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
答案：对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等
15．a＝3是“直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________条件．
解析：当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，∴l1∥l2.反之，若l1∥l2，则a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2，但a＝－2时，l1与l2重合．
答案：充要
16．下列说法中正确的是________．(填序号)
①命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；
②“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件；
③命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题；
④“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件．
解析：命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，当m＝0时，是假命题，故①不正确；
若a＞0，则|a|＞0，所以“a＞0”是“|a|＞0”的充分条件；若|a|＞0，则a＞0或a＜0，所以“a＞0”不是“|a|＞0”的必要条件．故②正确．
命题“p或q”为真命题，则命题“p”和“q”中至少有一个为真命题．故③不正确．
b＝0时f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数．
函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数时b＝0，故④正确．
答案：②④
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解析：逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0，真命题．
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0，真命题．
18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
(2)p：存在一个实数x，使得3x＜0；
(3)p：若an＝－2n＋1，则∃n∈N，使Sn＜0；
(4)p：有些偶数是质数．
解析：
(1)这一命题可表述为p：对任意的实数m，方程x2＋mx－1＝0必有实数根．其否定为綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4＞0恒成立，故綈p为假命题．
(2)綈p：对于所有的实数x，都满足3x≥0.
显然綈p为真命题．
5
(3)綈p：若an＝－2n＋1，则∀n∈N，Sn≥0.(假)
(4)綈p：所有偶数都不是质数．(假)
19．(本小题满分12分)设命题p：c2＜c和命题q：对∀x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．
解析：解不等式c2＜c，得0＜c＜1，
即命题p：0＜c＜1，∴命题綈p：c≤0或c≥1.
又由(4c)2－4＜0，得－＜c＜，
即命题q：－＜c＜，∴命题綈q：c≤－或c≥，
由p∨q为真，知p与q中至少有一个为真，
由p∧q为假，知p与q中至少有一个为假，
所以p与q中一个为真命题，一个为假命题．
当p真q假时，实数c的取值范围是≤c＜1；
当p假q真时，实数c的取值范围是－＜c≤0；
综上所述，实数c的取值范围是－＜c≤0或≤c＜1.
20．(本小题满分12分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
解析：由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.
∴綈p：x＜1或x＞5.
q：m－1≤x≤m＋1，∴綈q：x＜m－1或x＞m＋1.
又∵綈p是綈q的充分而不必要条件，
∴∴2≤m≤4.
21．(本小题满分12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明：
必要性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a.
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2
＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0，
又ab≠0，即a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2＝2＋≠0，只有a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，
a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
22．(本小题满分12分)给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
解析：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，即a＞或a＜－1.
乙命题为真时，2a2－a＞1，即a＞1或a＜－.
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
5
∴a的取值范围是.
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，＜a≤1，甲假乙真时，－1≤a＜－，
∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为.
5
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