第二章 质量评估检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点(1,4)，则焦点坐标为( )
A． B． C．(1,0) D．(0,1)
解析：∵抛物线过点(1,4)，∴4＝2a，∴a＝2，∴抛物线方程为x2＝y，焦点坐标为.
答案：A
2．已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：先确定实半轴和虚半轴的长，再求出半焦距．
双曲线C1和C2的实半轴长分别是sinθ和cosθ，虚半轴长分别是cosθ和sinθ，则半焦距c都等于1，故选D.
答案：D
3．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以其渐近线方程为y＝±x，因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝，根据c2＝a2＋b2，可得＝，解得e2＝，e＝.
答案：D
4．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1或＋＝1 D.＋＝1
解析：2c＝6，∴c＝3，∴2a＋2b＝18，a2＝b2＋c2，∴
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
答案：C
5．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为( )
A．1 B．0 C．－2 D．－
解析：设点P(x0，y0)，则x－＝1，由题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则·＝(－1－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x－x0－2＋y，由双曲线方程得y＝3(x－1)，故·＝4x－x0－5(x
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0≥1)，可得当x0＝1时，·有最小值－2，故选C.
答案：C
6．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( )
A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－
C．x2＝y－ D．x2＝2y－2
解析：设P(x0，y0)，PF的中点为(x，y)，则y0＝x，
又F(0,1)，∴，∴，代入y0＝x得2y－1＝(2x)2，
化简得x2＝2y－1，故选A.
答案：A
7．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B. C．1 D.
解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．
由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，
双曲线的渐近线方程为x－y＝0或x＋y＝0，
则焦点到渐近线的距离d1＝＝或d2＝＝.
答案：B
8．直线y＝x＋b与抛物线x2＝2y交于A、B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则b＝( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组消去y，
得x2－2x－2b＝0，所以x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，
y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2，
又OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，即b2－2b＝0，
解得b＝0(舍)或b＝2.
答案：A
9．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，所以F(－6,0)是双曲线的左焦点，即a2＋b2＝36，又双曲线的一条渐近线方程是y＝x，所以＝，解得a2＝9，b2＝27，所以双曲线的方程为－＝1，故选B.
答案：B
10．若动圆圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x
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＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
解析：抛物线y2＝8x上的点到准线x＋2＝0的距离与到焦点(2,0)的距离相等，故动圆必过焦点(2,0)．
答案：B
11．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )
A.或 B.或2 C.或2 D.或
解析：设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e＝＝＝；②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e＝＝＝.综上，所求的离心率为或.故选A.
答案：A
12．已知椭圆C；＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
解析：利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解．
∵椭圆的离心率为，∴＝＝，∴a＝2b.
∴椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.
∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，
∴渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为，
∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b＝4，
∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于________．
解析：由＋＝1知，a＝5，b＝4，∴c＝3，即F1(－3,0)，F2(3,0)，∴|PF2|＝|F1F2|＝6.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝10－6＝4，于是S△PF1F2＝·|PF1|·h＝×4×＝8.
答案：8
14．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析：根据抛物线与双曲线的图象特征求解．
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由于x2＝2py(p＞0)的准线为y＝－，由解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为A，B，所以|AB|＝2.由△ABF为等边三角形，得|AB|＝p，解得p＝6.
答案：6
15．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
F2的坐标为(c,0)，P点坐标为，
由题意知|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c，a2－c2＝2ac，
2＋2－1＝0，解得＝±－1，负值舍去．
答案：－1
16．已知双曲线C：－＝1，给出以下4个命题，真命题的序号是________．
①直线y＝x＋1与双曲线有两个交点；
②双曲线C与－＝1有相同的渐近线；
③双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3.
解析：①错误，因为直线y＝x＋1与渐近线y＝x平行，与双曲线只有一个交点；②正确，渐近线方程为y＝±x；③正确，右焦点为(，0)到渐近线y＝x的距离为3.
答案：②③
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)求与椭圆＋＝1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．
解析：由椭圆方程为＋＝1，知长半轴长a1＝3，短半轴长b1＝2，焦距的一半c1＝＝，
∴焦点是F1(－，0)，F2(，0)，因此双曲线的焦点也是F1(－，0)，F2(，0)，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题设条件及双曲线的性质，得解得故所求双曲线的方程为－y2＝1.
18．(本小题满分12分)已知动圆C过定点F(0,1)，且与直线l：y＝－1相切，圆心C的轨迹为E.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为2，则|PQ|的最大值为多少？
解析：
(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，
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∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，
∴所求轨迹的方程为x2＝4y.
(2)由题意易知直线l2的斜率存在，
又抛物线方程为x2＝4y，当直线AB斜率为0时|PQ|＝4.
当直线AB斜率k不为0时，设中点坐标为(t,2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则有x＝4y1，x＝4y2，两式作差得x－x＝4(y1－y2)，
即得k＝＝，则直线方程为y－2＝(x－t)，与x2＝4y联立得
x2－2tx＋2t2－8＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝2t，x1x2＝2t2－8，
|PQ|＝
＝
＝
＝≤6，
即|PQ|的最大值为6.
19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，＝12，求双曲线的标准方程．
解析：如图所示，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∵e＝＝2，∴c＝2a.
由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，
在△PF1F2中，由余弦定理，得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos60°)，
即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.
又S△PF1F2＝12，∴|PF1||PF2|sin60°＝12，
即|PF1||PF2|＝48.由①②，得c2＝16，c＝4，
则a＝2，b2＝c2－a2＝12，
∴所求的双曲线方程为－＝1.
20．(本小题满分12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A(4，m)到焦点的距离为6.
(1)求此抛物线的方程；
(2)若此抛物线方程与直线y＝kx－2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
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解析：
(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，p≠0其准线方程为x＝－，
∵A(4，m)到焦点的距离等于A到其准线的距离，
∴4＋＝6，∴p＝4，
∴此抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由消去y得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，
∵直线y＝kx－2与抛物线相交于不同两点A、B，则有，
解得k＞－1且k≠0，由x1＋x2＝＝4解得k＝2或k＝－1(舍去)
∴所求k的值为2.
21．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△CDF2的面积．
解析：
(1)由题意知b＝1，＝，且c2＝a2＋b2，解得a＝，c＝1.
易得椭圆方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1,0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，
由得9x2＋16x＋6＝0.
∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，
所以直线与椭圆有两个公共点，
设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，则
∴|CD|＝|x1－x2|＝·＝·＝，
又点F2到直线BF1的距离d＝，
故＝|CD|·d＝.
22．(本小题满分12分)过点C(0,1)的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆与x轴交于两点A(a,0)，B(－a,0)，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.
(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
(2)当点P异于点B时，求证：·为定值．
解析：
(1)由已知得b＝1，＝，解得a＝2，c＝，所以椭圆方程为＋y2＝1.
椭圆的右焦点为(，0)，
此时直线l的方程为y＝－x＋1，
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代入椭圆方程化简得7x2－8x＝0，
解得x1＝0，x2＝，
代入直线l的方程得y1＝1，y2＝－，
所以D点的坐标为.
故|CD|＝＝.
(2)证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符．
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠)，
代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，
解得x1＝0，x2＝，
代入直线l的方程得y1＝1，y2＝，
所以D点坐标为.
又直线AC的方程为＋y＝1，
直线BD的方程为y＝(x＋2)，
联立解得，因此Q点坐标为(－4k,2k＋1)．
又P点坐标为，
所以·＝·(－4k,2k＋1)＝4.
故·为定值．
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