第三章 质量评估检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )
①＋2＋2＋；
②2＋2＋3＋3＋；
③＋＋；
④－＋－.
A．①② B．②③
C．②④ D．①④
解析：①中，原式＝＋2＋＝＋＋＋＝＋，不符合题意；②中，原式＝2(＋＋＋)＋(＋＋)＝0；③中，原式＝，不符合题意；④中，原式＝(－)＋(－)＝0.故选C.
答案：C
2．已知向量a＝(2,4,5)、b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
解析：∵l1∥l2，∴a∥b，则＝＝，∴x＝6，y＝.
答案：D
3．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为( )
A．(－2,2,0) B．(2，－2,0)
C. D.
解析：由＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，－1)．
又BH⊥OA，∴·＝0，
即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，
解得λ＝，∴H，故选C.
答案：C
4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则与的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，||＝3，
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||＝，·＝3，
∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝60°.
答案：C
5．在以下命题中，不正确的个数为( )
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；
④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；
⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：①|a|－|b|＝|a＋b|⇒a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确，故选B.
答案：B
6．已知向量＝，＝，则平面AMN的一个法向量是( )
A．(－3，－2,4) B．(3,2，－4)
C．(－3，－2，－4) D．(－3,2，－4)
解析：设平面AMN的法向量n＝(x，y，z)，
则即
令z＝4，则n＝(3，－2,4)，由于(－3,2，－4)＝－(3，－2,4)，
可知选项D符合．
答案：D
7．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为( )
A．(1,1,1) B．(－1，－1，－1)或(1,1,1)
C．(－1，－1，－1) D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
解析：设a＝(x，y，z)，＝(－2，－1,3)，＝(1，－3，2)
则解得a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
答案：B
8．已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：建系如图，则S(0,0,3)，A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)．
- 11 -
∴＝(，1,0)，＝(，1，－3)，＝(0,2，－3)．
设面SBC的法向量为n＝(x，y，z)．
则
令y＝3，则z＝2，x＝，∴n＝(，3,2)．
设AB与面SBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.
答案：D
9．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：建系如图，设AB＝1，则B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，A(0,0,0)．
∴＝(－1,0,1)，＝(0,1,1)．
∴cos〈，〉＝
＝＝.
∴〈，〉＝60°，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.
答案：B
10．已知E、F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是( )
A. B.
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C. D.
解析：以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)，
所以＝(－1,0,1)，＝.
设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则⇒
∴x＝2y＝z，取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，
∵cos〈n，u〉＝，∴sin〈n，u〉＝.
答案：C
11．在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角A－PB－C的平面角的正切值为( )
A. B.
C. D.
解析：设PA＝AB＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0,2,0)，C(，1,0)，P(0,0,2)．
∴＝(0，－2,2)，＝(，－1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面PBC的一个法向量．
则即
令y＝1，则x＝，z＝1.
即n＝.
易知m＝(1,0,0)是平面PAB的一个法向量．
则cos〈m，n〉＝＝＝.
∴正切值tan〈m，n〉＝.
答案：A
12．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为( )
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A. B.
C. D.
解析：∵Q在OP上，∴可设Q(x，x,2x)，
则＝(1－x,2－x,3－2x)，
＝(2－x,1－x,2－2x)．
∴·＝6x2－16x＋10，
∴x＝时，·最小，
这时Q.
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，则当||取最小值时，x的值等于________．
解析：＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，则
||＝
＝＝，
故当x＝时，||取最小值．
答案：
14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是________．
解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，
易证是平面A1BD的一个法向量．
＝(－1,1,1)，＝(－1,0,1)．
cos〈，〉＝＝.
所以BC1与平面A1BD夹角的正弦值为.
答案：
15．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c共面，则λ＝________.
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解析：由已知可发现a与b不共线，由共面向量定理可知，
要使a，b，c共面，则必存在实数x，y，使得c＝xa＋yb，
即，解得.
答案：
16．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________.
解析：＝－＝＋－
＝＋－(＋)
＝＋－－－
＝－－＋.
答案：－－＋
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
解析：(1)易知，AB，AD，AA1两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．
从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)．
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因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0.
解得t＝或t＝－(舍去)．
于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)．
因为·＝－3＋3＋0＝0，所以⊥，
即AC⊥B1D.
(2)由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，
则即
令x＝1，则n＝(1，－，)．
设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则
sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
18．(本小题满分12分)如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出AF，若不存在，说明理由．
解析：假设存在F点，使CF⊥平面B1DF，
不妨设AF＝b，则F(a,0，b)，
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＝(a，－a，b)，＝(a,0，b－3a)，
＝.
∵·＝a2－a2＋0＝0，
∴⊥恒成立．由·＝2a2＋b(b－3a)＝b2－3ab＋2a2＝0，得b＝a或b＝2a.
∴当AF＝a或AF＝2a时，CF⊥平面B1DF.
19．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
解析：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，
A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，
所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．
因为cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，
因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，
所以n1·＝0，n1·＝0，
即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，
所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．
取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，
设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.
由|cosθ|＝＝＝，
得sinθ＝.
- 11 -
因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.
20．(本小题满分12分)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别为AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小．
图1 图2
解析：(1)证明：因为AC⊥BC，DE∥BC，
所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.
所以DE⊥平面A1DC.所以DE⊥A1C.
又因为A1C⊥CD，所以A1C⊥平面BCDE.
(2)如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz.
则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)．
设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0.
又＝(3,0，－2)，
＝(－1,2,0)，
所以
令y＝1，则x＝2，z＝.所以n＝(2,1，)．
设CM与平面A1BE所成的角为θ.
因为＝(0,1，)，
所以sinθ＝|cos〈n，〉|＝||＝＝，
所以CM与平面A1BE所成角的大小为.
21．(本小题满分12分)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
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(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°.
解析：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系．
设AC∩BD＝N，连结NE，
则N，E(0,0,1)，
∴＝.
又A(，，0)，M，
∴＝.
∴＝，且NE与AM不共线．
∴NE∥AM.
又NE⊂平面BED，AM⊄平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)设P(t，t,0)(0≤t≤)，
则＝(－t，－t,1)，＝(，0,0)．
又∵与所成的角为60°，
＝，
解之得t＝，或t＝(舍去)．
故点P为AC的中点．
22．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO中，已知PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．
(1)证明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求二面角B－PA－C的余弦值．
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解析：(1)证明：如图所示，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D.
设n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，
则由n1·＝0，n1·＝0，
得
所以z1＝0，x1＝y1.
取y1＝1，得n1＝(1,1,0)．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，
则由n2·＝0，n2·＝0，
得
所以x2＝－z2，y2＝z2，
取z2＝1，得n2＝(－，，1)．
因为n1·n2＝(1,1,0)·(－，，1)＝0，
所以n1⊥n2，从而平面POD⊥平面PAC.
(2)因为y轴⊥平面PAB.所以平面PAB的一个法向量为n3＝(0,1,0)．
由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2＝(－，，1)．
设向量n2和n3的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝.
由图可知，二面角B－PA－C的平面角与θ相等，
所以二面角B－PA－C的余弦值为.
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