2015-2016学年高中数学 模块综合检测 新人教A版选修2-1.doc

模块综合检测 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．下列命题中是全称命题，并且又是真命题的是(　　)‎ A．所有菱形的四条边都相等 B．∃x0∈N，使2x0为偶数 C．对∀x∈R，x2＋2x＋1＞0‎ D．π是无理数 解析：根据全称命题的定义可以判断A、C两项为全称命题，对于C项，在x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故C项为假命题．‎ 答案：A ‎2．若抛物线的准线方程为x＝1，焦点坐标为(－1,0)，则抛物线的方程是(　　)‎ A．y2＝2x　　　　B．y2＝－2x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析：∵抛物线的准线方程为x＝1，‎ 焦点坐标为(－1,0)，‎ ‎∴抛物线的开口方向向左且顶点在原点，其中p＝2.‎ ‎∴抛物线的标准方程为y2＝－4x.‎ 答案：D ‎3．若a＝(1，－1，－1)，b＝(0,1,1)且(a＋λb)⊥b则实数λ的值是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．－1 D．2‎ 解析：λb＝(0，λ，λ)，‎ a＋λb＝(1，λ－1，λ－1)．‎ ‎∵(a＋λb)⊥b，∴(a＋λb)·b＝0，‎ ‎∴λ－1＝0，λ＝1.‎ 答案：B ‎4．已知命题p：∀x∈R，x≥1，那么命题綈p为(　　)‎ A．∀x∈R，x≤1‎ B．∃x0∈R，x0＜1‎ C．∀x∈R，x≤－1‎ D．∃x0∈R，x0＜－1‎ 解析：全称命题的否定是特称命题．‎ 答案：B ‎5．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为(　　)‎ A. B．－ C．8 D．－8‎ 解析：由y＝ax2得x2＝y，‎ ‎∴＝－8，∴a＝－.‎ 答案：B ‎6．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. - 9 -‎ 解析：因为椭圆＋＝1的离心率e1＝，‎ 所以1－＝e＝，‎ 即＝，而在双曲线－＝1中，设离心率为e2，‎ 则e＝1＋＝1＋＝，所以e2＝.‎ 答案：B ‎7．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是(　　)‎ A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d B．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝ax－b(a＞0且a≠1)的图象不过第二象限 C．p：x＝1，q：x2＝x D．p：a＞1，q：f(x)＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数 解析：由于a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d，而a＋c＞b＋d却不一定推出a＞b，且c＞d.故A中p是q的必要不充分条件．B中，当a＞1，b＞1时，函数f(x)＝ax－b不过第二象限，当f(x)＝ax－b不过第二象限时，有a＞1，b≥1.故B中p是q的充分不必要条件．C中，因为x＝1时有x2＝x，但x2＝x时不一定有x＝1，故C中p是q的充分不必要条件．D中p是q的充要条件．‎ 答案：A ‎8．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3，PA⊥平面ABCD且PA＝2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)．‎ ＝(2,0，－2)，＝(－2,1,0)，＝(0,3，－2)．‎ 设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则取x＝1得n＝(1,2,3)．‎ cos〈，n〉＝＝＝－，‎ 可得PB与平面PCD所成角的正弦值为.‎ - 9 -‎ 答案：B ‎9．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：取BC中点O，连接AO，DO.‎ 建立如图所示坐标系，设BC＝1，‎ 则A，B，D.‎ ‎∴＝，＝，＝.‎ 由于＝为面BCD的法向量，‎ 可进一步求出面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)，‎ ‎∴cos〈n，〉＝，‎ ‎∴sin〈n，〉＝.‎ 答案：C ‎10．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于(　　)‎ A. B．2‎ C. D. 解析：双曲线的一条渐近线为y＝x，‎ 由消y得x2－x＋1＝0.‎ 由题意，知Δ＝2－4＝0‎ ‎∴b2＝‎4a2.‎ 又c2＝a2＋b2，∴c2＝a2＋‎4a2＝‎5a2.‎ ‎∴＝.‎ 答案：D ‎11．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)‎ A．椭圆 B．圆 C．双曲线的一支 D．线段 解析：∵P为MF1中点，O为F‎1F2的中点，∴OP＝MF2，又MF1＋MF2＝‎2a，∴PF1＋PO＝MF1＋‎ - 9 -‎ eq \f(1,2)MF2＝a.∴P的轨迹是以F1，O为焦点的椭圆．‎ 答案：A ‎12．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为(　　)‎ - 9 -‎ A. B. C. D. 解析：以A为坐标原点，AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝AB＝AC＝2，则＝(0,2,1)，Q(1,1,0)，P(1,0,2)，＝(0，－1,2)，所以·＝0，‎ 所以QP与AM所成角为.‎ 答案：D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．双曲线－＝1的焦距是________．‎ 解析：依题意a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c2＝a2＋b2＝16，c＝4,‎2c＝8.‎ 答案：8‎ ‎14．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的有________．‎ 解析：依题意可知p假，q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真．‎ 答案：p∨q，綈p ‎15．已知A(0，－4)，B(3,2)，抛物线y2＝x上的点到直线AB的最短距离为________．‎ 解析：直线AB为2x－y－4＝0，设抛物线y2＝x上的点P(t，t2)，d＝＝＝≥＝.‎ 答案： ‎16．在棱长为1的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________．‎ 解析：建系如图，‎ 则M，N，A(1,0,0)，C(0,1,0)，‎ ‎∴＝，＝.‎ - 9 -‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝.‎ 即直线AM与CN所成角的余弦值为.‎ 答案： 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分10分)命题p：x2－4mx＋1＝0有实数解，命题q：∃x0∈R，使得mx－2x0－1＞0成立．‎ ‎(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎(3)若命题綈p∨綈q为真命题，且命题p∨q为真命题，求实数m的取值范围．‎ 解析：(1)∵x2－4mx＋1＝0有实根；‎ ‎∴Δ＝‎16m2‎－4≥0，∴m≤－或m≥.‎ ‎∴m的取值范围是∪.‎ ‎(2)设f(x)＝mx2－2x－1.‎ 当m＝0时，f(x)＝－2x－1，q为真命题；‎ 当m＞0时，q为真命题；‎ 当m＜0时，需有Δ＝4＋‎4m＞0，‎ ‎∴m＞－1，综上m＞－1.‎ ‎(3)∵綈p∨綈q为真，p∨q为真，‎ ‎∴p、q为一真一假．p、q为真时m的范围在数轴上表示为 p真，q假时，m≤－1；p假，q真时，－＜m＜.‎ ‎∴满足条件的m的取值范围是m≤－1或－＜m＜.‎ ‎18．(本小题满分12分)如图，在平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D‎1C1的中点．‎ ‎(1)求证：EG∥AC；‎ ‎(2)求证：平面EFG∥平面AB‎1C.‎ 证明：把{，，}作为空间的一个基底．‎ ‎(1)因为＝＋＝＋，＝＋，‎ 所以＝2.所以EG∥AC.‎ ‎(2)由(1)知EG∥AC，又AC⊂平面AB‎1C，EG⊄平面AB‎1C，‎ 所以EG∥平面AB‎1C.‎ - 9 -‎ 因为＝＋＝＋，＝＋，‎ 所以＝2.所以FG∥AB1.‎ 又AB1⊂平面AB‎1C，FG⊄平面AB‎1C，‎ 所以FG∥平面AB‎1C.‎ 又EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面AB‎1C.‎ ‎19．(本小题满分12分)已知直线l：y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A、B两点，且线段AB的中点为.‎ ‎(1)求此椭圆的离心率；‎ ‎(2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2＋y2＝5上，求此椭圆的方程．‎ 解析：(1)由得 ‎(b2＋a2)x2－‎2a2x＋a2－a2b2＝0.‎ Δ＝‎4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)＞0⇒a2＋b2＞1，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝.‎ ‎∵线段AB的中点为，‎ ‎∴＝，于是得：a2＝2b2.‎ 又a2＝b2＋c2，∴a2＝‎2c2，∴e＝.‎ ‎(2)设椭圆的右焦点为F(c,0)，则点F关于直线l：y＝－x＋1的对称点为P(1,1－c)，‎ 由已知点P在圆x2＋y2＝5上，‎ ‎∴1＋(1－c)2＝5，c2－‎2c－3＝0.‎ ‎∵c＞0，∴c＝3，‎ 又∵a2＝‎2c2，∴a2＝18，a＝3.∴b＝3，‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1.‎ ‎20．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点，点O是坐标原点．‎ ‎(1)求证：OA⊥OB；‎ ‎(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．‎ 解析：(1)证明：当k＝0时直线与抛物线仅一个交点，不合题意，‎ ‎∴k≠0由y＝k(x＋1)得x＝－1代入y2＝－x整理得：‎ y2＋y－1＝0‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)则y1＋y2＝－，y1y2＝－1.‎ ‎∵A，B在y2＝－x上，‎ ‎∴A(－y，y1)，B(－y，y2)，‎ ‎∴kOA·kOB＝·＝＝－1，‎ ‎∴OA⊥OB.‎ ‎(2)设直线与x轴交于E，则E(－1,0)，∴|OE|＝1，‎ S△OAB＝|OE|(|y1|＋|y2|)＝|y1－y2|‎ - 9 -‎ ‎＝＝，‎ 解得k＝±.‎ ‎21．(本小题满分12分)如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．‎ ‎(1)求证：AF∥平面BCE；‎ ‎(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；‎ ‎(3)在DE上是否存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为30°.‎ 解析：设AD＝DE＝2AB＝‎2a，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，‎ 则A(0,0,0)，B(0,0，a)，C(‎2a,0,0)，D(a，a,0)，E(a，a,‎2a)，‎ ‎∵F为CD的中点，∴F.‎ ‎(1)证明：＝，‎ ＝(a，a，a)，＝(‎2a,0，－a)，‎ ‎∵＝(＋)，‎ AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE.‎ ‎(2)证明：∵＝，‎ ＝(－a，a,0)，＝(0,0，－‎2a)，‎ ‎∴·＝0，·＝0，‎ ‎∴⊥，⊥.‎ ‎∴⊥平面CDE.又∵AF∥平面BCE，‎ ‎∴平面BCE⊥平面CDE.‎ ‎(3)设平面BCE的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 由n·＝0，n·＝0可得：‎ x＋y＋z＝0,2x－z＝0，‎ 取n＝(1，－，2)，‎ 不妨取a＝1，则B(0,0,1)，‎ - 9 -‎ 设存在P(1，，t)满足题意，‎ 则＝(1，，t－1)(0≤t≤2)，‎ 设BP和平面BCE所成的角为θ，‎ 则sinθ＝ ‎＝＝，‎ 解得t＝3±，取t＝3－∈[0,2]，‎ ‎∴存在P(a，a，(3－)a)，使直线BP和平面BCE所成的角为30°.‎ ‎22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l：y＝x＋2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设椭圆C与曲线|y|＝kx(k＞0)的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．‎ 解析：(1)由题设可知，圆O的方程为x2＋y2＝b2，‎ 因为直线l：x－y＋2＝0与圆O相切，故有 ＝b.‎ 所以b＝.‎ 已知e＝＝，所以有a2＝‎3c2＝3(a2－b2)．‎ 所以a2＝3.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设点A(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，则y0＝kx0，‎ 设AB交x轴于点D，‎ 由对称性知：S△OAB＝2S△OAD＝2×x0y0＝kx.‎ 由，解得x＝.‎ 所以S△OAB＝k·＝≤＝.‎ 当且仅当＝3k，即k＝时取等号．‎ 所以△OAB面积的最大值.‎ - 9 -‎