第七章 机械能守恒定律
(考试时间：90分钟 分值：100分)
一、选择题(本题共10小题，每题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对得6分，漏选得3分，错选或不选得0分)
1．关于功的下列几种说法中，正确的是(A)
A．人托着一个物体沿水平方向匀速前进，人对物体没有做功
B．人托着一个物体沿水平方向加速前进，人对物体没有做功
C．力和位移都是矢量，功也一定是矢量
D．因为功有正功和负功的区别，所以功是矢量
2．质量为m的物体，由静止开始下落，由于阻力作用，下落的加速度为g.在物体下落h的过程中，下列说法中正确的是(AD)
A．物体的动能增加了mgh
B．物体的机械能减少了mgh
C．物体克服阻力所做的功为mgh
D．物体的重力势能减少了mgh
3．质量为m的汽车发动机的功率恒为P，摩擦阻力恒力f，牵引力为F，汽车由静止开始，经过时间t行驶了位移x时，速度达到最大值vm，则对发动机所做的功不正确的是(D)
A．Pt B．fvmt
C.mv＋fx D．Fx
4．如图所示，DO是水平面，AB是斜面，初速度为v0的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为零，如果斜面改为AC，让该物体从D点出发沿DCA滑动到A点且速度刚好为零， 则物体具有的初速度(已知物体与路面之间的动摩擦因数处处相同且不为零)(B)
A．大于v0 B．等于v0
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C．小于v0 D．取决于斜面的倾角
5．如图所示，一轻绳的一端系在固定的粗糙斜面上的O点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动，在此过程中(AC)
A．小球的机械能不守恒
B．重力对小球不做功
C．绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少
6．我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球，如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，在每次变轨完成后与变轨前相比(D)
A．卫星动能增大，引力势能减小
B．卫星动能增大，引力势能增大
C．卫星动能减小，引力势能减小
D．卫星动能减小，引力势能增大
7．关于重力势能的说法，正确的是(C)
A．重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功
B．在地平面下方的物体，它具有的重力势能一定小于零
C．重力势能减少，重力一定对物体做正功
D．重力势能增加，重力一定对物体做正功
8．如图所示，电梯质量为M，它的水平地板上放置一质量为m的物体，电梯在钢索的拉力作用下由静止开始竖直向上加速运动．当上升高度为H时，电梯的速度达到v，则在这段过程中，下列说法中正确的是(BC)
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A．电梯对物体的支持力所做的功等于mv2
B．电梯对物体的支持力所做的功大于mv2
C．钢索的拉力所做的功等于(M＋m)gH＋(M＋m)v2
D．钢索的拉力所做的功等于mv2＋MgH
9．如图所示，板长为l，板的B端静放有质量为m的小物体P，物体与板间的动摩擦因数为μ，开始时板水平，若缓慢转过一个小角度α的过程中，物体保持与板相对静止，则这个过程中(C)
A．摩擦力对P做功为μmgcos α·l(1－cos α)
B．摩擦力对P做功为mgsin α·l(1－cos α)
C．支持力对P做功为mglsin α
D．板对P做功为0
10．如图所示，将小球a从地面以初速度v0竖直上抛的同时，将另一相同质量的小球b从距地面h处由静止释放，两球恰在处相遇(不计空气阻力)．则(CD)
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A．两球同时落地
B．相遇时两球速度大小相等
C．从开始运动到相遇，球a动能的减少量等于球b动能的增加量
D．相遇后的任意时刻，重力对球a做功的功率小于对球b做功的功率
二．非选择题(本大题共5小题，共40分，解答题应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．)
11．(6分)在“验证机械能守恒定律”的实验中，若重物质量为0.50 kg，选择好的纸带如图所示，O、A之间有几个点未画出．已知相邻两点时间间隔为0.02 s，长度单位是cm，g取9.8 m/s2.则打点计时器打下点B时，重物的速度vB＝________m/s；从起点O到打下点B的过程中，重物重力势能的减少量ΔEp＝__________J，动能的增加量ΔEk＝________J(结果保留三位有效数字)．
解析：vB＝ m/s≈0.973 m/s，
动能的增量ΔEk＝mv＝×0.5×0.9732 J≈0.237 J，
重力势能的减少量
ΔEp＝mghB＝0.5×9.8×4.86×10－2 J≈0.238 J.
答案：0.973 0.238 0.237
12．(8分)现要通过实验验证机械能守恒定律．实验装置如图所示．水平桌面上固定一倾斜的气垫导轨；导轨上A点处有一带长方形遮光片的滑块，其总质量为M，左端由跨过轻质光滑定滑轮的细绳与一质量为m的砝码相连；遮光片两条长边与导轨垂直；导轨上B点有一光电门，可以测量遮光片经过光电门时的挡光时间t，用d表示A点到导轨底端C点的距离，h表示A与C的高度差，b表示遮光片的宽度，s表示A、B两点间的距离，将遮光片通过光电门的平均速度看作滑块通过B点时的瞬时速度．用g表示重力加速度．完成下列填空和作图．
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(1)若将滑块自A点由静止释放，则在滑块从A运动至B的过程中，滑块、遮光片与砝码组成的系统重力势能的减小量可表示为________．动能的增加量可表示为________．若在运动过程中机械能守恒，与s的关系式为＝________．
(2)多次改变光电门的位置，每次均令滑块自同一点(A点)下滑，测量相应的s与t值，结果如表所示：
1
2
3
4
5
s/m
0.600
0.800
1.000
1.200
1.400
t/ms
8.22
7.17
6.44
5.85
5.43
/104s－2
1.48
1.95
2.41
2.92
3.39
以s为横坐标，为纵坐标，在坐标纸中描出第1到第5个数据点．根据5个数据点作直线，求得该直线的斜率k＝________×104 m－1·s－2(保留3位有效数字)．由测得的h、d、b、M和m数值可以计算出－s直线的斜率k0，将k和k0进行比较，若其差值在实验允许的范围内，则可认为此实验验证了机械能守恒定律．
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解析：(1)滑块和遮光片的重力势能减少，砝码的重力势能增加，所以系统的重力势能减少的量为ΔEp＝Mgssin θ－mgs＝－mgs；滑块运动到光电门时的速度为v＝，所以系统的动能增加量为ΔEk＝(M＋m)v2＝.若机械能守恒，则有－mgs＝，
解得＝s.
(2)如图所示
由图象可求得斜率k＝＝2.43×104m－1·s－2
答案：(1)－mgs
s (2)见解析图 2.43
13．(8分)一列车的质量是5.0×105 kg，在平直的轨道上以额定功率3 000 kW加速行驶，当速度由10 m/s加速到所能达到的最大速率30 m/s时，共用了2 min，则在这段时间内列车前进的距离是多少？
解析：设列车在2 min内前进的距离为l，已知m＝5.0×105 kg，P＝3 000 kW，v＝10 m/s，v′＝30 m/s，t＝2 min，由于P＝Fv，列车速度最大时，a＝0，所以阻力Ff＝F，则Ff＝＝ N＝1.0×105 N，牵引力做功W＝Pt＝3×106×60×2 J＝3.6×108 J，由动能定理知W－Ffl＝mv′2－mv2，代入数据求得l＝1.6 km.
答案：1.6 km
14．(8分)某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛．比赛路径如图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟．已知赛车质量m＝0.1 kg，
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通电后以额定功率P＝1.5 W工作，进入竖直轨道前受到阻力恒为0.3 N，随后在运动中受到的阻力均可不计．图中L＝10.00 m，R＝0.32 m，h＝1.25 m，x＝1.50 m．问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间(取g＝10 m/s2)?
解析：设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1，由平
抛运动的规律x＝v1t，h＝gt2，解得v1＝x＝3 m/s，设赛车恰好通过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，最低点的速度为v3，由牛顿第二定律及机械能守恒定律
mg＝m，①
mv＝mv＋mg(2R)，②
联立①②解得v3＝＝4 m/s，通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是vmin＝v3＝v1＝4 m/s，设电动机工作时间至少为t，根据功能关系Pt－FfL＝mv，
由此可得t＝2.53 s.
答案：2.53 s
15．(10分)如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点衔接，导轨半径为R，一个质量为m的小球将弹簧压缩至A处．小球从A处由静止释放被弹开后，经过B点进入轨道的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能沿轨道运动到C点，求：
(1)释放小球前弹簧的弹性势能；
(2)小球由B到C克服阻力做的功．
解析：(1)在B点由牛顿第二定律得：FN－mg＝m，因FN＝8mg，则mv＝mgR，
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而小球在B点的动能即为弹簧的弹性势能，即
Ep＝mgR.
(2)小球恰好运动到C点，由圆周运动规律知：
mg＝，则mv＝mgR，
由能量守恒定律得：
mv＝mg·2R＋W阻＋mv，
解得W阻＝mgR.
答案：(1)mgR (2)mgR
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