2.6 直角三角形(一)
A组
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中直角三角形有(D)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
(第1题)
(第2题)
2．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1．2 km，则M，C两点间的距离为(D)
A． 0．5 km B． 0．6 km
C． 0．9 km D． 1．2 km
3．直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为(B)
A． 120° B． 135°
C． 150° D． 120°或135°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为(C)
A． 12 B． 13
C． 14 D． 20
(第4题)
(第5题)
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE经过点C，且DE∥AB．若∠ACD＝50°，则∠A＝__50°__，∠B＝__40°__．
6．如图，PA⊥OA于点A，PB⊥OB于点B，D是OP的中点，则DA与DB的数量关系是BA＝DB．
,(第6题)) ,(第7题))
7．如图，△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C′，此时恰好A′B′⊥AC，则∠A＝__55°__．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交BC于点D，垂足为E，且∠CAD∶∠CAB＝1∶3，求∠B的度数．
(第8题)
【解】 设∠CAD＝x°，
则∠CAB＝3x°，∠BAD＝2x°．
∵DE是AB的中垂线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD＝2x°．
∵∠C＝90°，
∴∠CAB＋∠B＝90°，
即3x＋2x＝90，
解得x＝18，
∴∠B＝2×18°＝36°．
(第9题)
9．如图，在△ABC中，AD，BE分别为边BC，AC上的高线，D，E为垂足，M为AB的中点，N为DE的中点．求证：
(1)△MDE是等腰三角形．
(2)MN⊥DE．
【解】 (1)∵AD，BE分别为边BC，AC上的高线，
∴△ABD，△ABE均为直角三角形．
∵M是Rt△ABD斜边AB的中点，∴MD＝AB．
同理，ME＝AB．
∴ME＝MD．∴△MDE是等腰三角形．
(2)∵ME＝MD，N是DE的中点，∴MN⊥DE．
B组
(第10题)
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′．若∠B＝50°，则∠ACB′＝__10°__．
【解】 ∵∠ACB＝90°，∠B＝50°，
∴∠A＝40°．
∵CD是AB边上的中线，
∴CD＝BD＝AD，
∴∠BCD＝∠B＝50°，∠DCA＝∠A＝40°．
由折叠可知∠B′CD＝∠BCD＝50°，
∴∠ACB′＝∠B′CD－∠DCA＝10°．
(第11题)
11．如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于点G．求证：
(1)G是CE的中点．
(2)∠B＝2∠BCE．
【解】 (1)连结DE．
∵AD是高线，∴△ABD是直角三角形．
∵CE是AB边上的中线，
∴DE是Rt△ABD斜边上的中线．
∴DE＝BE＝AE．
∵DC＝BE，∴DE＝DC．
又∵DG⊥CE，∴CG＝EG，即G是CE的中点．
(2)∵DE＝BE，∴∠B＝∠BDE．
∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠BCE．
∵∠BDE是△DCE的一个外角，
∴∠BDE＝∠DEC＋∠BCE＝2∠BCE．
∴∠B＝2∠BCE．
(第12题)
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是边AB的中点，CH⊥AB于点H，CD平分∠ACB．
(1)求证：∠1＝∠2．
(2)过点M作AB的垂线交CD的延长线于点E，连结AE，BE．求证：CM＝EM．
【解】 (1)∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＋∠ACH＝90°．
∵CH⊥AB，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，
∴∠CAH＝∠BCH．
∵M是斜边AB的中点，∴CM＝AM＝BM，
∴∠CAM＝∠ACM．∴∠BCH＝∠ACM．
∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD，
∴∠BCD－∠BCH＝∠ACD－∠ACM，
即∠1＝∠2．
(2)∵CH⊥AB，ME⊥AB，∴ME∥CH，
∴∠1＝∠MED．
∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠MED，∴CM＝EM．
数学乐园
(第13题)
13．如图，在Rt△ABC的场地上，∠B＝90°，AB＝BC，∠CAB的平分线AE交BC于点E．甲、乙两人同时从A处出发，以相同的速度分别沿AC和A→B→E线路前进，甲的目的地为C，乙的目的地为E．请你判断一下，甲、乙两人谁先到达各自的目的地？并说明理由．
【解】 同时到达．理由如下：
过点E作EF⊥AC于点F．
∵AB＝BC，∠B＝90°，∴∠C＝＝45°．
∵EF⊥AC，∴∠EFC＝90°，
∴∠CEF＝90°－∠C＝45°＝∠C，∴EF＝CF．
又∵AE平分∠CAB，∴EF＝EB．
易证得△AEF≌△AEB，得AF＝AB，可知AB＋BE＝AF＋CF＝AC，故同时到达．
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