2.7 探索勾股定理(一)
A组
1．已知一个直角三角形的斜边长是5，一直角边长是3，则此直角三角形的面积是__6__．
2．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD＝__8__．
(第2题)
(第3题)
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于__8π__．
4．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝5，在CD上取一点E，连结BE．将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为____．
(第4题)
(第5题)
5．如图，数轴上点A，B分别表示1，2，过点B作PQ⊥AB．以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M表示的数是(B)
A． B． C． D．
(第6题)
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，
则BC的长为(C)
A．5 B．6
C．8 D．10
7．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
(1)若a＝5，b＝12，求c．
(2)若b＝0．7，c＝2．5，求a．
(3)若a∶b＝3∶4，c＝25，求b．
【解】 (1)∵∠C＝90°，a＝5，b＝12，
∴c2＝a2＋b2＝52＋122＝169．
∵c>0，∴c＝13．
(2)∵∠C＝90°，b＝0．7，c＝2．5，
∴a2＝c2－b2＝2．52－0．72＝5．76．
∵a>0，∴a＝2．4．
(3)∵a∶b＝3∶4，∴设a＝3x，b＝4x．
∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2．
∴(3x)2＋(4x)2＝252，∴x2＝25．
∵x>0，∴x＝5，∴b＝4×5＝20．
(第8题)
8．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上．若CD＝1，DE∥AB，EF⊥DE交BC的延长线于点F，求EF的长．
【解】 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∴△EDC是等边三角形，
∴DE＝CD＝1．
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝2．
∴EF＝＝＝．
B组
(第9题)
9．如图，等边三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形
AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以等边三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作等边三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2……以此类推，则Sn＝×(用含n的代数式表示)．
【解】 ∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，
∴AB＝2，BB1＝1，∴AB1＝，
∴S△ABB1＝AB1·BB1＝××1＝．
易知∠AB1C1＝60°，∴∠CB1B2＝30°．
又∵∠C＝60°，∴B1C1⊥AC，∴点B2在AC上．
易知∠B1AC＝30°，∴B1B2＝AB1＝，
∴AB2＝＝，
∴S1＝AB2·B1B2＝××＝×．
同理，S2＝×，S3＝×，
……
以此类推，Sn＝×．
10．在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC 边上的高为12 cm，求△ABC 的面积．
【解】 当∠B 为锐角时(如解图①),
在Rt△ABD中，
BD＝＝＝5(cm)．
在Rt△ADC中，
CD＝＝＝16(cm)．
∴BC＝BD＋CD＝5＋16＝21(cm)．
∴S△ABC＝BC·AD＝×21×12＝126(cm2)．
(第10题解)
当∠B 为钝角时(如解图②),
同理，BC＝CD－BD＝16－5＝11(cm)．
∴S△ABC＝BC·AD＝×11×12＝66(cm2)．
∴△ABC 的面积为126 cm2或66 cm2 ．
(第11题)
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，P为BC边上任意一点．
(1)求证：AP2＋PB·PC＝16．
(2)若BC边上有100个不同的点(不与点B，C重合)P1，P2，…，P100，设mi＝APi2＋PiB·PiC(i＝1，2，…，100)．求m1＋m2＋…＋m100的值．
【解】 (1)过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AP2＋PB·PC＝AP2＋(PD＋BD)(CD－PD)＝AP2＋CD2－PD2．
∵AP2－PD2＝AD2，
∴AP2＋PB·PC＝AD2＋CD2＝AC2＝16．
(2)由(1)知mi＝APi2＋PiB·PiC＝16，
∴m1＝m2＝…＝m100＝16，
∴m1＋m2＋…＋m100＝16×100＝1600．
数学乐园
12．如图，∠AOB＝30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM＝1，ON＝3，点P，Q分别在边OB，OA上，求MP＋PQ＋QN的最小值．
(第12题)
导学号：91354013
【解】 如解图，作点M关于OB的对称点M1，作点N关于OA的对称点N1，连结M1N1分别交OA，OB于点Q，P，此时MP＋PQ＋QN的值最小．
(第12题解)
由对称的性质，知M1P＝MP，N1Q＝NQ，
∴MP＋PQ＋QN＝M1N1．
连结ON1，OM1，
则∠M1OP＝∠POM＝∠N1OM＝30°，
∴∠N1OM1＝90°．
又∵ON1＝ON＝3，OM1＝OM＝1，
∴M1N1＝＝，即MP＋PQ＋QN的最小值为．
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