24.1.2垂直于弦的直径.docx

‎24．1.1　圆 知识点 1　圆的定义 ‎1．圆的形成定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转________，另一个端点所形成的图形叫做圆．圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于________的点的集合．‎ ‎2．下列条件中，能确定圆的是(　　)‎ A．以已知点O为圆心 B．以1 cm长为半径 C．经过已知点A，且半径为2 cm D．以点O为圆心，1 cm长为半径 ‎3．如图24－1－1所示，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A，B，且OA＝1，则点B的坐标是(　　)‎ 图24－1－1‎ A．(0，1) 　 　B．(0，－1)‎ C．(1，0) 　 　D．(－1，0)‎ ‎4．如图24－1－2所示，若BD，CE都是△ABC的高．求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．‎ 图24－1－2‎ 知识点 2　与圆有关的概念 ‎5．如图24－1－3所示，在⊙O中，________是直径，________是弦，劣弧有________，优弧有________．‎ 图24－1－3‎ ‎6．如图24－1－4，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数是(　　)‎ 图24－1－4‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎7．下列命题中是真命题的有(　　)‎ ‎①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长度相等的弧是等弧；④半径相等的两个圆是等圆；⑤直径是圆中最长的弦．‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎8．若圆的半径为3，则弦AB的长度的取值范围是__________．‎ ‎9．已知：如图24－1－5，OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点．求证：AD＝BC.‎ 图24－1－5‎ ‎10．已知：如图24－1－6，在⊙O中，AB为弦，C，D两点在弦AB上，且AC＝BD.‎ 求证：△OAC≌△OBD.‎ 图24－1－6‎ ‎11．如图24－1－7，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连接AC，则∠DAC等于(　　)‎ 图24－1－7‎ A．15°　　B．30°　　C．45°　　D．60°‎ ‎12．如图24－1－8所示，AB，MN是⊙O中两条互相垂直的直径，点P在上，且不与点A，M重合，过点P作AB，MN的垂线，垂足分别是D，C.当点P在上移动时，矩形PCOD的形状、大小随之变化，则PC2＋PD2的值(　　)‎ 图24－1－8‎ A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．不能确定 ‎13．如图24－1－9，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM.若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是(　　)‎ 图24－1－9‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎14．如图24－1－10，在Rt△ABC中，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，∠BCD＝40°，则∠A＝________°.‎ 图24－1－10‎ ‎15．如图24－1－11，C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，且CO⊥AB，在OC两侧分别作矩形OGHI和正方形ODEF，且点I，F在OC上，点H，E在半圆上，可证：IG＝FD.小云发现连接图中已知点得到两条线段，便可证明IG＝FD.‎ 请回答：小云所作的两条线段分别是________和________．‎ 图24－1－11‎ ‎16．⊙O1与⊙O2的半径分别是r1，r2，且r1和r2是关于x的方程x2－ax＋＝0的两个根．若⊙O1与⊙O2是等圆，则a2019的值为________．‎ ‎17．如图24－1－12所示，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你指出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．‎ 图24－1－12‎ ‎18．在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.‎ ‎(1)如图24－1－13①，当PQ∥AB时，求PQ的长；‎ ‎(2)如图24－1－13②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．‎ 图24－1－13‎ 教师详解详析 ‎1．一周　定长r ‎2．D　[解析] ∵圆心和半径都确定后才可以确定圆，只有D选项中具备这两个条件，‎ ‎∴D选项正确．‎ ‎3．B　[解析] ∵圆的半径都相等，∴OB＝OA＝1，‎ ‎∴点B的坐标是(0，－1)．故选B.‎ ‎4．证明：如图，取BC的中点F，连接DF，EF.‎ ‎∵BD，CE都是△ABC的高，‎ ‎∴△BCD和△BCE都是直角三角形，‎ ‎∴DF，EF分别是Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，‎ ‎∴DF＝EF＝BF＝CF，‎ ‎∴B，C，D，E四点在以点F为圆心，BF的长为半径的圆上．‎ ‎5．AD　AD，AC　，　， ‎6．B　[解析] 图中的弦有AB，BC，CE，共3条．‎ ‎7．A　[解析] 等弧是完全重合的弧，故①③错误；直径把圆分成两条相等的弧，即两个半圆，故②错误；半径相等的圆可以完全重合，是等圆，故④正确；直径是圆中最长的弦，故⑤正确．故选A.‎ ‎8．0＜AB≤6‎ ‎9．证明：∵OA，OB为⊙O的半径，∴OA＝OB.‎ ‎∵C，D分别为OA，OB的中点，‎ ‎∴OC＝OD.‎ 在△AOD和△BOC中，‎ ‎∵ ‎∴△AOD≌△BOC(SAS)，‎ ‎∴AD＝BC.‎ ‎10．证明：∵OA＝OB，‎ ‎∴∠A＝∠B.‎ 在△OAC和△OBD中，‎ ‎∵ ‎∴△OAC≌△OBD(SAS)．‎ ‎11．B　[解析] ∵OA＝OC，‎ ‎∴∠CAO＝∠ACO.‎ ‎∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，‎ ‎∴∠DAC＝∠CAO.‎ ‎∵∠DAB＝60°，∴∠DAC＝∠DAB＝30°.‎ ‎12．C　[解析] 连接OP.∵四边形PCOD是矩形，∴PC＝OD，∴PC2＋PD2＝OD2＋PD2＝OP2，为一定值．故选C.‎ ‎13．B　[解析] 设OP与⊙O交于点N，连接MN，OQ，如图．‎ ‎∵OP＝4，ON＝2，‎ ‎∴N是OP的中点．‎ 又∵M是PQ的中点，‎ ‎∴MN为△POQ的中位线，‎ ‎∴MN＝OQ＝×2＝1，‎ ‎∴点M在以点N为圆心，1为半径的圆上，‎ ‎∴当点M在ON上时，OM的值最小，最小值为1.‎ 故选B.‎ ‎14．20　[解析] ∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB.‎ ‎∵∠B＋∠CDB＋∠BCD＝180°，‎ ‎∴∠B＝(180°－∠BCD)＝(180°－40°)＝70°.又∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠B＝20°.‎ ‎15．OH　OE　[解析] 连接OH，OE，如图所示．‎ ‎∵在矩形OGHI和正方形ODEF中，IG＝OH，OE＝FD，‎ 又∵OH＝OE，‎ ‎∴IG＝FD.‎ ‎16．1　[解析] ∵⊙O1与⊙O2是等圆，∴r1＝r2，即方程x2－ax＋＝0有两个相等的实数根，‎ ‎∴Δ＝b2－4ac＝a2－4×＝0，即a2＝1，∴a＝±1.‎ 又∵r1＝r2>0，a＝r1＋r2，∴a＝1，‎ ‎∴a2019＝12019＝1.‎ ‎17．解：OE＝OF.证明：连接OA，OB.‎ ‎∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.‎ 又∵AE＝BF，‎ ‎∴△OAE≌△OBF，‎ ‎∴OE＝OF.‎ ‎18．解：(1)连接OQ.‎ ‎∵PQ∥AB，PQ⊥OP，∴OP⊥AB.‎ ‎∵AB＝6，∴OB＝3.‎ ‎∵∠ABC＝30°，‎ ‎∴PB＝2OP.‎ 在Rt△PBO中，由勾股定理，得PB2＝OP2＋OB2.‎ 设OP＝x，则PB＝2x，则(2x)2＝x2＋32，‎ 解得x＝(负值已舍去)，∴OP＝.‎ 在Rt△OPQ中，由勾股定理，得PQ＝＝＝.‎ ‎(2)连接OQ，由勾股定理得 PQ＝＝.‎ 要使PQ取最大值，需OP取最小值，此时OP⊥BC.‎ ‎∵∠ABC＝30°，‎ ‎∴OP＝OB＝，‎ 此时PQ最大值＝＝ .‎