第1课时弧长和扇形面积.docx

‎24.4　第1课时　弧长和扇形面积 知识点 1　弧长公式及其应用 ‎1．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长l＝________，n°的圆心角所对的弧长l＝________．‎ ‎2．(1)2016·岳阳在半径为6 cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为________cm.‎ ‎(2)有一条弧的长为2π cm，半径为2 cm，则这条弧所对的圆心角的度数是________；‎ ‎ (3)一条长度为10π cm的弧所对的圆心角为60°，则这条弧所在的圆的半径是________．‎ ‎3．若半径为5 cm的一段弧的弧长等于半径为2 cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为(　　)‎ A．18° B．36° C．72° D．144°‎ ‎4．2017·咸宁如图24－4－1，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为(　　)‎ 图24－4－1‎ A．π 　　　　B.π ‎ C．2π 　　　　D．3π ‎5．如图24－4－2所示，⊙O的半径为6 cm，直线AB是⊙O的切线，切点为B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，求劣弧的长．‎ 图24－4－2‎ 知识点 2　扇形的面积公式及其应用 ‎6．2016·宜宾半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是(　　)‎ A．3π B．6π C．9π D．12π ‎7．2017·天门一个扇形的弧长是10π cm，面积是60π cm2，则此扇形的圆心角的度数是(　　)‎ A．300° B．150° C．120° D．75°‎ ‎8．2017·泰州扇形的半径为3 cm，弧长为2π cm，则该扇形的面积为________cm2.‎ ‎9．(1)在半径为6 cm的圆中，圆心角为60°的扇形的面积是________；‎ ‎(2)已知扇形的半径为2 cm，面积为2π cm2，则扇形的圆心角是________；‎ ‎(3)若扇形的弧长为10π cm，面积为20π cm2，则扇形的半径为________．‎ ‎10．2016·怀化已知扇形的半径为6 cm，面积为10π cm2，则该扇形的弧长等于________．‎ ‎11．如图24－4－3，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接BC，OC.‎ ‎(1)求证：∠BCD＝∠COB；‎ ‎(2)若OC＝10，∠BCD＝15°，求阴影部分的面积．‎ ‎　图24－4－3‎ ‎12．2016·青岛如图24－4－4，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB的长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为(　　)‎ 图24－4－4‎ A．175π cm2 B．350π cm2‎ C.π cm2 D．150π cm2‎ ‎13．2016·山西如图24－4－5，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则的长为(　　)‎ 图24－4－5‎ A. 　B. 　C．π D．2π ‎14．2016·昆明如图24－4－6，AB为⊙O的直径，AB＝6，AB垂直于弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A＝30°，连接AD，OC，BC，则下列结论不正确的是(　　)‎ 图24－4－6‎ A．EF∥CD ‎ B．△COB是等边三角形 C．CG＝DG ‎ D.的长为π ‎15．2017·舟山如图24－4－7，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8 cm的⊙O，＝90°，弓形ACB(阴影部分)粘贴胶皮，则胶皮面积为________．‎ 图24－4－7‎ ‎16．2016·福州如图24－4－8，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接BM，CM.‎ ‎(1)求证：BM＝CM；‎ ‎(2)当⊙O的半径为2时，求的长．‎ 图24－4－8‎ ‎17．2017·枣庄如图24－4－9，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，与AC，AB分别交于点E，F.‎ ‎(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若BD＝2 ，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．‎ 图24－4－9‎ ‎18．如图24－4－10所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF.‎ ‎(1)求证：OF∥BC；‎ ‎(2)求证：△AFO≌△CEB；‎ ‎(3)若EB＝5 cm，CD＝10 cm，设OE＝x cm，求x的值及阴影部分的面积．‎ 图24－4－10‎ 教师详解详析 ‎1.　 ‎2．(1)4π　(2)180°　(3)30 cm ‎3．D　[解析] 设这段弧所对的圆心角为n°，则有π·5＝2π·2，解得n＝144.‎ ‎4．C　[解析] ∵∠BAD＝∠BOD＝∠BCD，∠BAD＋∠BCD＝180°，‎ ‎∴∠BOD＝120°.‎ 又∵⊙O的半径为3，‎ ‎∴的长为＝2π.故选C.‎ ‎5．解：连接OB，OC.‎ ‎∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥OB.‎ ‎∵∠A＝30°，∴∠AOB＝90°－∠A＝60°.‎ ‎∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.‎ ‎∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，‎ ‎∴∠BOC＝60°，‎ ‎∴劣弧的长为＝2π(cm). ‎ ‎6．D　[解析] S＝＝12π.‎ ‎7．B　[解析] 根据S扇形＝l弧长r，求得半径r＝12 cm，由弧长公式l＝，得10π＝，解得n＝150.即此扇形的圆心角的度数是150°.‎ ‎8．3π　[解析] 根据扇形面积公式，得S＝lr＝×2π×3＝3π(cm2)．‎ ‎9．(1)6π cm2　(2)180°　(3)4 cm ‎10. cm　[解析] 设扇形的弧长为l cm.∵扇形的半径为6 cm，面积为10π cm2，∴l×6＝10π，解得l＝.‎ ‎11．解：(1)证明：∵AB⊥CD，∴＝.‎ 如图，连接BD，则∠BCD＝∠BDC.‎ ‎∵∠COB＝2∠BDC(圆周角定理)，‎ ‎∴∠COB＝2∠BCD，即∠BCD＝∠COB.‎ ‎(2)∵∠BCD＝15°，∴∠COB＝30°，‎ ‎∴∠AOC＝150°.‎ 又∵OC＝10，‎ ‎∴S阴影＝＝π.‎ ‎12．B　[解析] ∵AB＝25，BD＝15，∴AD＝10，∴S贴纸＝2×(－)＝350π(cm2)．‎ ‎13．C　[解析] 如图，连接OE，OF.∵∠1＝∠C＝60°，OA＝OF，∴∠2＝60°.∵CD与⊙O相切，∴∠4＝90°，∴∠3＝90°，∴∠EOF＝180°－∠2－∠3＝180°－60°－90°＝30°.∵r＝12÷2＝6，∴的长＝＝＝π.‎ ‎14．D　[解析] ∵AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点B，∴AB⊥EF.‎ 又∵AB⊥CD，‎ ‎∴EF∥CD，故A正确；‎ ‎∵AB⊥CD，∴＝，‎ ‎∴∠COB＝2∠A＝60°.‎ 又∵OC＝OB，‎ ‎∴△COB是等边三角形，故B正确；‎ ‎∵AB⊥CD，‎ ‎∴CG＝DG.故C正确；‎ 的长为＝π，故D不正确．‎ 故选D.‎ ‎15．(48π＋32)cm2　[解析] 连接AO，OB，作OD⊥AB于点D.因为＝90°，所以∠AOB＝90°，所以胶皮面积S＝S扇形ACB＋S△OAB＝×π×82＋×8×8＝(48π＋32)cm2.‎ ‎16．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB＝CD，∴＝.‎ ‎∵M为的中点，∴＝，‎ ‎∴＋＝＋，即＝，‎ ‎∴BM＝CM.‎ ‎(2)∵⊙O的半径为2，‎ ‎∴⊙O的周长为4π.‎ ‎∵＝＝＝，‎ ‎∴＝＋＝，‎ ‎∴的长＝××4π＝π.‎ ‎17．解：(1)BC与⊙O相切．‎ 理由：连接OD.‎ ‎∵AD是∠BAC的平分线，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD.‎ 又∵OD＝OA，‎ ‎∴∠OAD＝∠ODA，‎ ‎∴∠CAD＝∠ODA，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.‎ 又∵BC过半径OD的外端点D，‎ ‎∴BC与⊙O相切．‎ ‎(2)设OF＝OD＝x，则OB＝OF＋BF＝x＋2，‎ 根据勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即(x＋2)2＝x2＋(2 )2，‎ 解得x＝2，即OD＝OF＝2，‎ ‎∴OB＝2＋2＝4.‎ ‎∵在Rt△ODB中，OD＝OB，‎ ‎∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，‎ ‎∴S扇形DOF＝＝，‎ 则阴影部分的面积为S△ODB－S扇形DOF＝×2×2 －π＝2 －π.‎ ‎18．解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°.‎ 又∵OF⊥AC于点F，∴∠AFO＝90°，‎ ‎∴∠ACB＝∠AFO，‎ ‎∴OF∥BC.‎ ‎(2)证明：由(1)知∠CAB＋∠ABC＝90°.‎ 由AB⊥CD于点E，可得 ∠CEB＝90°，∴∠ABC＋∠BCE＝90°，∴∠CAB＝∠BCE.‎ 又∵∠AFO＝∠CEB＝90°，OF＝BE，‎ ‎∴△AFO≌△CEB.‎ ‎ (3)∵AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，∴∠OEC＝90°，CE＝CD＝×10 ＝5 (cm)．‎ 在Rt△OCE中，OE＝x cm，OB＝OC＝(5＋x)cm，‎ 由勾股定理，得OC2＝CE2＋OE2，‎ 即(5＋x)2＝＋x2，‎ 解得x＝5，‎ ‎∴OE＝5 cm，OC＝10 cm.‎ 在Rt△OCE中，OC＝2OE，故∠OCE＝30°，‎ ‎∴∠COE＝60°.‎ 由圆的轴对称性可知阴影部分的面积 S阴影＝2(S扇形BOC－S△OCE)‎ ‎＝2× ‎＝cm2.‎