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高二年级调研测试
数学（理科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1.已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数的值为 ．
2.已知点，，则 ．
3.若，则的值为 ．
4.已知随机变量服从二项分布，那么方差的值为 ．
5.三个同学猜同一个谜语，如果每人猜对的概率都是，并且各人猜对与否相互独立，那么他们同时猜对的概率为 ．
6.已知矩阵，则矩阵的逆矩阵为 ．
7.若从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，则至少选出1名女生的概率为 ．（结果用分数表示）
8.在极坐标系中，已知到直线：，的距离为2，则实数的值为 ．
9.设向量，，且，则的值为 ．
10.圆：在矩阵对应的变换作用下得到了曲线，曲线的矩阵对应的变换作用下得到了曲线，则曲线的方程为 ．
11.若的二项展开式中的第3项的二项式系数为15，则的展开式中含项的系数为 ．
12.将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有2个空盒的方法共有 种（用数字作答）．
13.对于自然数方幂和，，，求和方法如下：
，
，
…
，
将上面各式左右两边分别相加，就会有，解得，类比以上过程可以求得，且与无关，则的值为 ．
14.化简 ．
二、解答题：本大题共6小题，15-17题每题14分，18-20题每题16分，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知复数，为虚数单位.
（1）求；
（2）若复数满足，求的最大值.
16.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，若直线的参数方程为：（为参数），曲线的极坐标方程为：.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）求直线被曲线截得线段的长.
17.已知矩阵，向量.
（1）求的特征值、和特征向量、；
（2）求的值.
18.如图，在正四棱柱中，，，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）若，求异面直线与所成角的大小；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若二面角的大小为，求实数的值.
19.假设某士兵远程射击一个易爆目标，射击一次击中目标的概率为，三次射中目标或连续两次射中目标，该目标操作，停止射击，否则就一直独立地射击至子弹用完.现有5发子弹，设耗用子弹数为随机变量.
（1）若该士兵射击两次，求至少射中一次目标的概率；
（2）求随机变量的概率分布与数学期望.
20.设，其中，，与无关.
（1）若，求的值；
（2）试用关于的代数式表示：；
（3）设，，试比较与的大小.
宿迁市2017～2018学年度第二学期高二年级期末调研测试
理 科 数 学
一、填空题
1. -1 2. 5 3. 4或9 4. 5. 6.
7. 8. 1 9. 168 10.
11. 160 12. 84 13. 14.
二、解答题
15．解：（1）
（2）设，因为，所以
在复平面中，复数对应点，
复数对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；
因为AO=,所以的最大值为．
16．解：（1）直线的普通方程为，
曲线的普通方程为.
（2）曲线表示以为圆心，2为半径的圆，
圆心到直线的距离，
故直线被曲线截得的线段长为．
17．解：（1）矩阵的特征多项式为，
令，解得，，
当时，解得；
当时，解得.
(2)令，得，求得.
所以
18．解：（1）当时，，， ，，，
则，
，
故，
所以异面直线与所成角为．
（2）当时，，，，，，
则，，
设平面的法向量，
则由得，
不妨取，则， 此时，
设与平面所成角为，因为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
（3）由得，，，
设平面的法向量，
则由得，
不妨取，则， 此时，
又平面的法向量，
故，解得，
由图形得二面角大于，所以符合题意．
所以二面角的大小为，的值为．
19． 解：（1）该士兵射击两次，至少射中一次目标的概率为
.
（2）耗用子弹数的所有可能取值为2，3，4，5.
当时，表示射击两次，且连续击中目标，；
当时，表示射击三次，第一次未击中目标，且第二次和第三次连续击中目标，
；
当时，表示射击四次，第二次未击中目标，且第三次和第四次连续击中目标，
；
当时，表示射击五次，均未击中目标，或只击中一次目标，或击中两次目标前四次击中不连续两次或前四次击中一次且第五次击中，或击中三次第五次击中且前四次无连续击中。
；
随机变量的数学期望
.
20.解：（1）由题意知，所以.
（2）当时，，
两边同乘以得：
，
等式两边对求导，得：
，
令得：
，
即.
（3），，
猜测：，
① 当时，，，，此时不等式成立；
②假设时，不等式成立，即：，则时，
所以当时，不等式也成立；
根据①②可知，，均有.
【实际上问题即比较与的大小关系；】
宿迁市2017~2018学年度第二学期高二年级期末调研测试
理 科 数 学
（考试时间120分钟，试卷满分160分)
注意事项:
1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方．
2．答题时，请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1.
答案：-1
2.
答案：5
3.
答案：4或9
4．
答案：
5.
答案：
6．
答案：
7．
答案：
8．
答案：1
9．
答案：168
10．
答案：
11．
答案：160
12．
答案：84
13．
答案：
14．
答案：
二、解答题：本大题共6小题，15-17题每题14分，18-20题每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．
解： （1） ……………………6分
（2）设，因为，所以 ……………………8分
在复平面中，复数对应点，
复数对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；
……………………10分
因为AO=,所以的最大值为． ……………………14分
16．
解：（1）直线的普通方程为， ……………………4分
曲线的普通方程为. ……………………8分
（2）曲线表示以为圆心，2为半径的圆，
圆心到直线的距离， ……………………10分
故直线被曲线截得的线段长为． …………………14分
17．
解： (1)矩阵的特征多项式为，
令，解得，， ………4分
当时，解得； ………6分
当时，解得. ………8分
(2)令，得，求得. …………………10分
所以
………………14分
18．解：（1）当时，，， ，，，
则，
， ………………2分
故，
所以异面直线与所成角为．……………………4分
（2）当时，，，，，，
则，，
设平面的法向量，
则由得，
不妨取，则， 此时， ……………………7分
设与平面所成角为，因为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为． ……………………10分
（3）由得，，，
设平面的法向量，
则由得，
不妨取，则， 此时， ……………13分
又平面的法向量，
故，解得，
由图形得二面角大于，所以符合题意．
所以二面角的大小为，的值为． ……………16分
19．
解：（1）该士兵射击两次，至少射中一次目标的概率为
………4分
（2）耗用子弹数的所有可能取值为2，3，4，5.
当时，表示射击两次，且连续击中目标，； ………6分
当时，表示射击三次，第一次未击中目标，且第二次和第三次连续击中目标，
； ………8分
当时，表示射击四次，第二次未击中目标，且第三次和第四次连续击中目标，
； ………10分
当时，表示射击五次，均未击中目标，或只击中一次目标，或击中两次目标前四次击中不连续两次或前四次击中一次且第五次击中，或击中三次第五次击中且前四次无连续击中。
；
………12分
随机变量的数学期望
………16分
20．
解：（1）由题意知，所以. ………2分
（2）当时，，
两边同乘以得：
，
………………………4分
等式两边对求导，得：
………………………6分
令得：
，
即 …………………………………………8分
（3），
猜测： ………………………………………………10分
① 当时，，，，此时不等式成立；
………………………………………………11分
②假设时，不等式成立，即：，则时，
所以当时，不等式也成立； ………………………………………………15分
根据①②可知，，均有. …………………………16分
【实际上问题即比较与的大小关系；】
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