2015—2016学年下学期高三年级
第一次半月考理数试卷
考试时间：2016年2月19日
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D.
2. 已知集合 ，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第4题图
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
4. 定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则
的值为( )
A. B. C. D.
5. 以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位:分）
甲组
乙组
9
0
9
2
1
5
8
7
4
2
4
已知甲组数据的中位数为,乙组数据的平均数为,则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
6. 设实数列和分别是等差数列与等比数列，且，，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7.设集合=，选择的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( )
A．50种 B.49种 C.48种 D.47种
8. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（），则是
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的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为（ ）
A. B. C. D.
9.已知若则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
10. 过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M，延长交曲线于点N，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
第11题图
11. 某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
12. 已知函数的图像在点处的切线方程，若函数满足 （其中为函数的定义域），当时，恒成立，则称为函数的“转折点”.已知函数在上存在一个“转折点”，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 已知函数，则的值为 .
14. 已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为 .
15. 若的展开式所有的系数之和为81，则直线与曲线所围成的封闭区域面积为 .
16. 已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是______
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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分） 已知数列的前项和为，且满足.
（I）求数列的通项公式；(II)设，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）如右下图，在四棱锥中，直线，，
（I）求证：直线平面.
（II）若直线与平面所成的角的正弦值为，
求二面角的平面角的余弦值.
19.（本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）
（I）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（II）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．
（III）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为， 求的分布列及数学期望．
附表及公式
20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆：经过点，且离心率等于．点分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上非顶点的两点，且的面积等于．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
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第20题图
（Ⅱ）过点作交椭圆于点，求证：．
21.（本小题满分12分）已知函数，．
（1）（i）求证：；
（ii）设，当，时，求实数的取值范围；
（2）当时，过原点分别作曲线与的切线，，已知两切线的斜率互为倒数，证明：．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.
如图，正方形边长为2，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点．
（I）求证：；
（II）求的值.
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为,正三角形的顶点都在上，且，，依逆时针次序排列，点的坐标为．
（I）求点，的直角坐标；
（II）设是圆：上的任意一点，求的取值范围．
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（I）当时，求不等式的解集；
（II）若的解集包含，求实数的取值范围.
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数 学（理科）试 题（参考答案）
一、 选择题
1-6 C A D C C B 7-112 B A D D B D
二、 填空题
, , ，
三、 解答题
17.解（Ⅰ）当时，由①，得②，①-②即得………2分,而当时，，故………3分，因而数列是首项为公比为的等比数列，其通项公式为.……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,故 . ………8分，数列的前项和
. ………12分
18.法一（Ⅰ）取中点，连接，则，∴四边形是平行四边形，∴ //∵直角△和直角△中，∴直角△直角△，易知∴………2分又∵平面∴……4分，而∴平面.得证. ……5分
（Ⅱ）由△△，知，∵∴，设
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交于，连接，则是直线与平面所成的角，，∴，而故.……7分.作于，由，知平面，∴，∴是二面角的平面角.……9分∵△△，∴，而∴∴，∴，即二面角的平面角的余弦值为……12分（其他方法酌情给分）
法二：（Ⅰ）∵平面∴ 又∵，故可建立建立如图所示坐标系……1分.由已知，，，（）∴，，∴，.……4分，∴，，∴平面……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，
设直线与平面所成的角为，∴，∵∴，即 ………8分
设平面的一个法向量为，，
由，∴，令，则 ………10分
∴， ………11分 显然二面角的平面角是锐角，∴二面角的平面角的余弦值为 ………12分（其他方法可酌情给分）
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19.解：(Ⅰ)由表中数据得的观测值
所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.）………3分
(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)
设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为………5分
由几何概型 即乙比甲先解答完的概率.……7分
(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种
可能取值为，， ………8分
， ………9分
………10分
的分布列为：
1
. ………12分
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20. 解：（Ⅰ）由题意得： ，解得：
故椭圆C的方程为： ……………………………………3分
（Ⅱ）解法一：如图所示，设直线,的方程为，
联立方程组，解得,
同理可得,……………………………………
作轴, 轴,是垂足,
=
已知，化简可得.……………………………………8分
设,则，
又已知,所以要证,只要证明……………………10分
而
所以可得……………………………………12分（在轴同侧同理可得）
解法二：设直线的方程为，代入
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得，它的两个根为和
可得 …………………………7分
从而
所以只需证 即……………………9分
设，，若直线的斜率不存在，易得
从而可得 …………………10分
若直线的斜率存在，设直线的方程为， 代入
得
则，，…11分
化得，得 …………………13分
12分
21. 【解析】（1）（i）令，则时，时，所以，即;-----------------2分
（ii），．
①当时，由（1）知，
所以，
在上递增，恒成立，符合题意．------------------4分
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②当时，因为，所以在上递增，且，则存在，使得．
所以在上递减，在上递增，又，所以不恒成立，不合题意．
综合①②可知，所求实数的取值范围是．------------------6分
（2）设切线的方程为，切点为，则，
，所以，，则．
由题意知，切线的斜率为，的方程为．
设与曲线的切点为，则，
所以，．
又因为，消去和后，整理得-------9分令，则，
在上单调递减，在上单调递增．
若，因为，，所以，
而在上单调递减，所以．
若，因为在上单调递增，且，则，
所以（舍去）．
综上可知，．------------------12分
22．解：（Ⅰ）由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线
依据切割线定理得……2分,另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，同样依据切割线定理得故. ……5分
（Ⅱ）连结，∵BC为圆O直径，∴ 由得
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…8分又在中，由射影定理得. …10分
23．解：（1）点的坐标为，即；点的坐标为，即． ……5分
（2）由圆的参数方程，可设点，
于是
， ……8分
∴的范围是． ……10分
24．解：（1）当时，，即，
即或或
解得或． 所以解集为． ……5分
（2）原命题等价于在上恒成立，即在上恒成立，……8分即在上恒成立，即． ……10分
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