专题七 四边形
⊙热点一：平行四边形的判定与性质
1．(2015年广西桂林)如图Z78，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
(1)求证：四边形EBFD为平行四边形；
(2)对角线AC分别与DE，BF交于点M，N，求证：△ABN≌△CDM.
图Z78
⊙热点二：特殊四边形的判定与性质
2．(2015年江苏南京)如图Z79，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.
(1)求证：四边形EGFH是矩形；
(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．
图Z79
⊙热点三：四边形综合题
3．(2015年湖南衡阳)如图Z710，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点(与点O，A不重合)，连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND，BM，设OP＝t.
(1)求点M的坐标(用含t的代数式表示)．
(2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．
(3)当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．
图Z710
专题七 四边形
【提升·专项训练】
1．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BE＝DF.
∵BE∥DF，∴四边形EBFD为平行四边形．
(2)证明：∵四边形EBFD为平行四边形，∴DE∥BF.
∴∠CDM＝∠CFN.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠BAC＝∠DCA，∠ABN＝∠CFN.
∴∠ABN＝∠CDM.
在△ABN与△CDM中，
∴△ABN≌△CDM(ASA)．
2．(1)证明：∵EH平分∠BEF，∴∠FEH＝∠BEF.
∵FH平分∠DFE，∴∠EFH＝∠DFE.
∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
∴∠FEH＋∠EFH＝(∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°.
∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，
∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°.
同理可得∠EGF＝90°.
∵EG平分∠AEF，∴∠GEF＝∠AEF.
∵EH平分∠BEF，∴∠FEH＝∠BEF.
∵点A，E，B在同一条直线上，
∴∠AEB＝180°，即∠AEF＋∠BEF＝180°.
∴∠FEG＋∠FEH＝(∠AEF＋∠BEF)＝×180°＝90°，即∠GEH＝90°.
∴四边形EGFH是矩形．
(2)解：答案不唯一：
由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证MNQP是菱形，只要证MN＝NQ，由已知条件：FG平分∠CFE，MN∥EF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证 GE＝FH，∠GME＝∠FQH.
故只要证∠MGE＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，∠GEF＝∠EFH，即可得证．
3．解：(1)作ME⊥x轴于E，如图D113.
图D113 图D114
则∠MEP＝90°，ME∥AB，∴∠MPE＋∠PME＝90°.
∵四边形OABC是正方形，
∴∠POC＝90°，OA＝OC＝AB＝BC＝4，∠BOA＝45°.
∵PM⊥CP，∴∠CPM＝90°.
∴∠MPE＋∠CPO＝90°.∴∠PME＝∠CPO.
在△MPE和△PCO中，
∴△MPE≌△PCO(AAS)．
∴ME＝PO＝t，EP＝OC＝4.∴OE＝t＋4.
∴点M的坐标为(t＋4，t)．
(2)线段MN的长度不发生改变；理由如下：
连接AM，如图D114.
∵MN∥OA，ME∥AB，∠MEA＝90°，
∴四边形AEMF是矩形．
又∵EP＝OC＝OA，∴AE＝PO＝t＝ME.
∴四边形AEMF是正方形．
∴∠MAE＝45°＝∠BOA.∴AM∥OB.
∴四边形OAMN是平行四边形．∴MN＝OA＝4.
(3)∵ME∥AB，∴△PAD∽△PEM.
∴＝，即＝.∴AD＝－t2＋t.
∴BD＝AB－AD＝4－＝t2－t＋4.
∵MN∥OA，AB⊥OA，∴MN⊥AB.
∴四边形BNDM的面积S＝MN·BD＝×4t2－t＋4＝(t－2)2＋6.
∵S是t的二次函数且＞0，
∴S有最小值，当t＝2时，S的值最小．
∴当t＝2时，四边形BNDM的面积最小．
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