2016中考数学专题突破八 圆.doc

专题八　圆 ‎　　　 　　　　　 　　　　　　 　　　　‎ ‎⊙热点一：与圆有关的计算题 ‎1．(2015年辽宁营口)如图Z87，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D.‎ ‎(1)求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎(2)若PD＝，AC＝8，求图中阴影部分的面积；‎ ‎(3)在(2)的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．‎ 图Z87‎ ‎⊙热点二：圆的性质与证明题 ‎2．(2015年贵州六盘水)如图Z88，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD.‎ ‎(1)求证：△ADO∽△ACB.‎ ‎(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.‎ 图Z88‎ ‎⊙热点三：圆的综合题 ‎3．(2015年黑龙江哈尔滨)AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G.‎ ‎(1)如图Z89，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；‎ ‎(2)如图Z810，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC＝AG；‎ ‎(3)如图Z811，在(2)条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG＝4，tan∠D＝，求线段AH的长．‎ ‎ ‎ 图Z89 　图Z810 　图Z811‎ ‎4．(2015年广东茂名)如图Z812，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C(－2,0)，D(－8,0)两点，与y轴相切于点B(0,4)．‎ ‎(1)求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；‎ ‎(2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；‎ ‎(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．‎ 图Z812‎ 专题八　圆 ‎【提升·专项训练】‎ ‎1．(1)证明：如图D115，连接OC, ‎ ‎ ‎ 图D115　 　图D116‎ ‎∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO＝90°.‎ ‎∵BC∥OP，∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB.‎ ‎∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠AOP＝∠COP.‎ 在△PAO和△PCO中，‎ ‎∴△PAO≌△PCO(SAS)．∴∠PCO＝∠PAO＝90°.‎ ‎∴PC是⊙O的切线．‎ ‎(2)解：由(1)得PA，PC都为圆的切线，‎ ‎∴PA＝PC，OP平分∠APC，∠ADO＝∠PAO＝90°.‎ ‎∴∠PAD＋∠DAO＝∠DAO＋∠AOD.‎ ‎∴∠PAD＝∠AOD.∴△ADP∽△ODA.‎ ‎∴＝.∴AD2＝PD·OD.‎ ‎∵AC＝8，PD＝，‎ ‎∴AD＝AC＝4，OD＝3，AO＝5.‎ 由题意知，OD为△ABC的中位线，‎ ‎∴BC＝6，OD＝3，AB＝10.‎ ‎∴S阴＝S⊙O－S△ABC＝－24；‎ ‎(3)解：如图D116，连接AE，BE，作BM⊥CE于M, ‎ ‎∴∠CMB＝∠EMB＝∠AEB＝90°.‎ ‎∵点E是的中点，‎ ‎∴∠ECB＝∠CBM＝∠ABE＝45°，CM＝MB＝3 ，BE＝AB·cos45°＝5 .‎ ‎∴EM＝＝4 ，则CE＝CM＋EM＝7 .‎ ‎2．(1)证明：∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB.‎ ‎∴∠ACB＝∠ADO＝90°.‎ ‎∵∠A＝∠A，∴△ADO∽△ACB.‎ ‎(2)解：由(1)知△ADO∽△ACB.∴＝.‎ ‎∴AD·BC＝AC·OD.‎ ‎∵OD＝1，∴AC＝AD·BC.‎ ‎3．(1)证明：如图D117，∵四边形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴∠D＋∠ABC＝180°.‎ ‎∵∠ABC＋∠EBC＝180°，∴∠D＝∠EBC.‎ ‎∵GF⊥AD，AE⊥DG，‎ ‎∴∠A＋∠ABF＝90°，∠A＋∠D＝90°.‎ ‎∴∠ABF＝∠D.‎ ‎∵∠ABF＝∠GBE，‎ ‎∴∠GBE＝∠EBC，即BE平分∠GBC.‎ ‎ ‎ ‎ 图D117　 图D118 　图D119‎ ‎(2)证明：如图D118，连接CB，‎ ‎∵AB⊥CD，BF⊥AD，‎ ‎∴∠D＋∠BAD＝90°，∠ABG＋∠BAD＝90°.‎ ‎∴∠D＝∠ABG.‎ ‎∵∠D＝∠ABC，∴∠ABC＝∠ABG.‎ ‎∵AB⊥CD，∴∠CEB＝∠GEB＝90°.‎ 在△BCE和△BGE中 ‎∴△BCE≌△BGE(ASA)．∴CE＝EG.‎ ‎∵AE⊥CG，∴AC＝AG.‎ ‎(3)解：如图D119，连接CO并延长交⊙O于M，连接AM，‎ ‎∵CM是⊙O的直径，∴∠MAC＝90°.‎ ‎∵∠M＝∠D，tanD＝，∴tanM＝.‎ ‎∴＝.‎ ‎∵AG＝4，AC＝AG，∴AC＝4，AM＝3.‎ ‎∴MC＝＝5.∴CO＝.‎ 过点H作HN⊥AB，垂足为点N，‎ ‎∵tanD＝，AE⊥DE，∴tan∠BAD＝.∴＝.‎ 设NH＝‎3a，则AN＝‎4a，‎ ‎∴AH＝＝‎5a.‎ ‎∵HB平分∠ABF，NH⊥AB，HF⊥BF，‎ ‎∴HF＝NH＝‎3a，AF＝‎8a，cos∠BAF＝＝＝.‎ ‎∴AB＝＝‎10a.∴NB＝‎6a.‎ ‎∴tan∠ABH＝＝＝.‎ 过点O作OP⊥AB垂足为点P，‎ ‎∴PB＝AB＝‎5a，tan∠ABH＝＝.∴OP＝a.‎ ‎∵OB＝OC＝，OP2＋PB2＝OB2，∴‎25a2＋a2＝.‎ ‎∴解得a＝.∴AH＝‎5a＝.‎ ‎4．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，‎ 把B(0,4)，C(－2,0)，D(－8,0)代入，得 解得 ‎∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为 y＝x2＋x＋4.‎ ‎(2)∵y＝x2＋x＋4＝(x＋5)2－，‎ ‎∴E.‎ 设直线CE的函数解析式为y＝mx＋n，‎ 直线CE与y轴交于点G，‎ 则解得 ‎∴y＝x＋.‎ 在y＝x＋中，令x＝0，y＝，∴G.‎ 如图D120，连接AB，AC，AG，则BG＝OB－OG＝4－＝.‎ CG＝＝＝.‎ ‎∴BG＝CG，AB＝AC.‎ 在△ABG与△ACG中，‎ ‎∴△ABG≌△ACG(SSS)．‎ ‎∴∠ACG＝∠ABG.‎ ‎∵⊙A与y轴相切于点B(0,4)，∴∠ABG＝90°.‎ ‎∴∠ACG＝∠ABG＝90°.‎ ‎∵点C在⊙A上，∴直线CE与⊙A相切．‎ ‎ ‎ 图D120　 　图D121‎ ‎(3)存在点F，使△BDF面积最大， ‎ 如图D121，连接BD，BF，DF，设F(t，t2＋t＋4)，‎ 过F作FN∥y轴交BD于点N.‎ 设直线BD的解析式为y＝kx＋d，‎ 则解得 ‎∴直线BD的解析式为y＝x＋4.‎ ‎∴点N的坐标为.‎ ‎∴FN＝t＋4－(t2＋t＋4)＝－t2－2t.‎ ‎∴S△BDF＝S△DNF＋S△BNF＝OD·FN ‎＝×8×(－t2－2t)＝－t2－8t＝－(t＋4)2＋16.‎ ‎∴当t＝－4时，S△BDF最大，最大值是16.‎ 当t＝－4时，t2＋t＋4＝－2.‎ ‎∴F(－4，－2)．‎