陕西省城固县第一中学2016届高三下学期第一次月考
数学试卷(理科)
时间:120分钟,满分:150分
第I卷(选择题，共60分)
一、 选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集为R，，，则=( )
A. B.{0} C.[0,1] D.
2．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．1 B．2 C． D．
3．已知命题：存在，使得；命题：对任意，都有，则（ ）
A．命题“或”是假命题 B．命题“且”是真命题
C．命题“非”是假命题 D.命题“且‘非’”是真命题
4．执行如图所示的算法框图，输出的M值是 ( )
A．2 B．－1 C． D．－2
5．一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.16π B.12π C.14π D.17π
6．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝( )
A．8 B．15 C．64 D．136
7．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξa＋2)，则a＝( )
A．3 B. C．5 D.
8.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
9．若曲线在处的切线与直线互相垂直，则实数等于( ).
A. B. C. D. 2
C
B
x
y
O
A
E
D
F
f(x)=sinx
g(x)=cosx
10.如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为
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A(0,—1)，B(,—1)，C(,1)，D(0,1)，正弦曲线f(x)=sinx和余弦曲线g(x)=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )
A． B．
C． D．
11.设m∈R，实数x，y满足，若| x+2y|≤18，则实数m的取值范围是( )
A．-3≤m≤6 B．m≥-3 C．- ≤m≤6 D．-3≤m≤
12.设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”，若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B.
C. D.
第II卷(非选择题，共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为_______．
14．设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于______．
15．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则A点的横坐标为
16.已知函数，点O为坐标原点，点向量，是向量与的夹角，设为数列的前n项和，则=
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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17. （本小题满分12分）
已知函数．
(Ⅰ)设，求的值域；
(Ⅱ)在△ABC中，角，，所对的边分别为，，．已知c=1，，且△ABC的面积为，求边a和b的长．
18. （本小题满分12分）如图1，已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使DB＝，如图2.
(1)求证：平面AOD⊥平面ABCO；
(2)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值．
图1 图2
19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙约定两人面试都合格就一同签约，否则两个人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都为，且面试是否合格相互不影响．
(1)求至少有一人面试合格的概率；
(2)求签约人数的分布列和数学期望．
20. （本小题满分12分）如图，已知椭圆O：＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．
（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
（第20题图）
（2）①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；
②求的取值范围．
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21. （本小题满分12分）已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)如果函数g(x)的单调递减区间为，求函数g(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，求函数y＝g(x)的图像在点P(－1,1)处的切线方程；
(3)若不等式2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.如图，AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H.
(1)求证：C，D，E，F四点共圆；
(2)若GH＝6，GE＝4，求EF的长．
23.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．
24．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|．
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
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城固一中2016届高三数学试题(理科)答案
选择：1---12：CCDBA,CDBAB,AD
填空：13. 14. 2 15. 3 16.
解答：
17. 解（Ⅰ）==．
时，值域为．-------------6分
（Ⅱ）因为，由（1）知．
因为△ABC的面积为，所以，于是. ①
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b.
由余弦定理得，所以． ②
由①②可得或-------------------------------------12分
18. (1)证明 在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，
O为CD的中点，∴△AOD，△BOC为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝90°，即OB⊥OA.
取AO中点H，连接DH，BH，则OH＝DH＝AO＝.
在Rt△BOH中，BH2＝BO2＋OH2＝，
在△BHD中，DH2＋BH2＝2＋＝3，又DB2＝3.
∴DH2＋BH2＝DB2，∴DH⊥BH.
又DH⊥OA，OA∩BH＝H，
∴DH⊥平面ABCO.而DH平面AOD，
∴平面AOD⊥平面ABCO.--------------------------6分
(2)解
分别以OA，OB所在直线为x轴，y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，，0)，A(，0,0)，
D，C
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∴＝(－，，0)，
＝，＝.
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
即x＝y，x＝z，令x＝1，则y＝z＝1，n＝(1,1,1)．
设α为直线BC与平面ABD所成的角．
则 sin α＝＝＝.
即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为.-----------------------12分
19. 解：(1)用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝P(C)＝，所以至少有一人面试合格的概率为1－P( )＝1－·＝.-----------------5分
(2)由题意可知，ξ的可能取值为0,1,2,3.
ξ
0
1
2
3
P
P(ξ＝0)＝P( )＋P( B )＋P( C)＝；P(ξ＝1)＝P(A C)＋P(AB )＋P(A )＝；P(ξ＝2)＝P(BC)＝；P(ξ＝3)＝P(ABC)＝.所以ξ的分布列为
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.--------------12分
20.解：（1）由题意，焦点，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为，即，
联立，解得或（舍），即． ………………2分
连BF，则直线BF：，即，
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而，． ……………………分
故． ……………………5分
（2）解法一：①设，且，则直线PM的斜率为，
则直线PM的方程为，
联立化简得，解得， ……分
所以，，
所以为定值． ……………9分
② 由①知，，，
所以， …………………分
令，故，
因为在上单调递增，
所以，即的取值范围为．……12分
解法二：①设点，则直线PM的方程为，
令，得. …………………分
所以，，
所以（定值）. …………9…分
②由①知，，，
所以
11
=． ………………分
令，则，
因为在上单调递减，
所以，即的取值范围为． …12分
21.解：(1)g′(x)＝3x2＋2ax－1，由题意得3x2＋2ax－1
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