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中原名校2015-2016学年下期高三第一联考
数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2、函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
3、已知复数满足为虚数单位），则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
4、“”是“点到直线的距离为3”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5、已知为等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．47 B．73 C．37 D．74
6、过双曲线的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7、某市中心购物商场在“双11”开展的“买三免一”促销
活动异常火爆，对当日8时至22时的销售额进行统计，以
组距为2小时的频率分布直方图如图所示，已知
时至时的销售额为90万元，则10时至12时销售
为（ ）
A．120万元 B．100万元
C．80万元 D．60万元
8、如图，在直角梯形中，为BC边上一点，
为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
9、运行如图所示的程序，若输入的值为256，
则输出的值是（ ）
A．3 B．-3
C． D．
10、已知的展开式中含与的项的系数
的绝对值之比为，则的最小值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
11、如图，是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12、在数列中，，则（ ）
A．数列单调递减 B．数列单调递增
C．数列先递减后递增 D．数列先递增后递减
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.
13、已知函数为偶函数，则实数的值为
14、已知直线与圆：相切且与抛物线交于不同的两点，则实数的取值范围是
15、设满足不等式，若，则的最小值为
16、已知函数在区间内恰有9个零点，则实数的值为
三、解答题：（第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24为选做题，考生根据要求作答，）本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
在中，已知分别是角的对边，且满足。
（1）求角A的大小；
（2）若，求的周长的取值范围。
18、（本小题满分12分）
新生儿评分，即阿氏评分是对新生儿出生收总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反映、肤色、肌张力这几个方面平分，满10分者为正常新生儿，评分7分以下的新生儿考虑患有轻度窒息，大部分新生儿的评分多在7-10分之间，某市级医院产科对1月份出生的新生二随机制取了16名，以下表格记录了他们的评分情况。
（1）现从16名新生儿随机抽取3名，至多有1名评分不低于9分的概率；
（2）以这16名新生二数据来估计本年度的总体数据，若从本市本年度新生二中任选3名，记X表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X的分布列及数学期望。
19、（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，分别为和的中点，平面，其垂足F落在直线上。
（1）求证：；
（2）若，求二面角的平面角的余弦值。
20、（本小题满分12分）
已知Q为椭圆的上顶点，是C上的一点，以PQ为直径的圆经过椭圆C的右焦点F。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆相较于两点，为椭圆C上任意一点，且线段OM的中点与线段AB的中点重合，求的取值范围。
21、（本小题满分12分）
已知函数
（1）若函数在区间上的最小值是，求的值；
（2）当时，设，求证：当时，。
请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分） 选修4-1 几何证明选讲
如图，已知D为以AB为斜边的的外接圆上一点，交，的交点分别为，且为中点。
（1）求证：；
（2）过点C作圆的切线交延长线于点H，
若，求的长。
23、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，
已知直线，曲线为参数）
（1）将直线化为直角方程，将曲线C化为极坐标方程；
（2）若将直线向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值。
24、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲
已知函数，若关于的不等式的整数接有且仅有一个值为。
（1）求整数m的值；
（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数a的取值范围。
中原名校2015-2016学年下期高三第一次联考
理科数学答案
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．【答案】A
【解析】∵，
∴，故选A．
2．【答案】B
【解析】因为，所以最小正周期，故选B．
3．【答案】C
【解析】由，
得，则的共轭复数是，故选C．
4．【答案】B
【解析】由题意知点到直线的距离为3等价于，解得或，所以“”是“点到直线的距离为3”的充分不必要条件，故选B．
5．【答案】D
【解析】由，得，整理，得，于是＝，故选D．
6．【答案】D
【解析】由题意，得代入，得交点，则，整理，得，故选D．
7．【答案】D
【解析】该商场11月11日8时至22时的总销售额为万元，所以10时至12时的销售额为万元，故选D．
8．【答案】C
【解析】取的中点，连结，，则，所以
，∴＝，于是＝＝，故选C．
9．【答案】C
【解析】根据程序框图及条件可知→→→，所以，故选C．
10．【答案】C
【解析】的展开式中含项的系数为，含的项的系数为，则由题意，得，即，则，故选C．
11．【答案】D
【解析】按如图所示作辅助线，为球心，设，则，同时由正方体的性质知，则在中，，即，解得，所以球的半径，所以球的表面积为，故选D．
12．【答案】A
【解析】由，知， ①，则有
②．由②-①得，即．∵，∴与同号．由，易知，，即，由此可知数列单调递减，故选A．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．【答案】
【解析】由题意知对于恒成立，则由，，即，于是由，得．
14．【答案】
【解析】因为直线与圆相切，所以 ．又把直线方程代入抛物线方程并整理得，于是由，得 或．
15．【答案】
【解析】作出满足不等式的平面区域，如图所示，当直线经过点时目标函数取得最小值－1．又由平面区域知，则函数在时，取得最大值，由此可知的最小值为．
16．【答案】
【解析】由，得，即．设，令，则．考察的函数的零点个数，即如下图所示为，的图象，易知：（1）方程的一个根为1，另一个根为时，在内有三个零点，此时，解得；（1）方程的一个根为－1，另一个根为时，在内有三个零点，此时，解得．综上可知当时，在内有3个解．再由可知，
．综上可知，．
三、解答题 （第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答，本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由正弦定理，得，
∴，则．
∵，∴，∴．
∵，∴，∴．……………5分
（2）由正弦定理，得，……………6分
∴
＝……………8分
＝．……………9分
∵，∴，∴，∴，
∴，故的周长．……………12分
18．【答案】（1）；（2）分布列见解析；．
【解析】（1）设表示所抽取3名中有名新生儿评分不低于9分，至多有1名评分不低于9分记为事件，则
．……………5分
（2）由表格数据知，从本本市年度新生儿中任选1名评分不低于9分的概率为，………6分
则由题意知的可能取值为0，1，2，3．
；
；
；
．……………9分
所以的分布列为
0
1
2
3
……………10分
由表格得．
（或）……………12分
19．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）∵在直三棱柱中，平面，
又∵平面，∴．……………………2分
又∵平面，平面，∴．
又∵分别为和的中点，∴，∴．……………………4分
而平面，平面，且，
∴平面．
又∵平面，∴．……………………5分
（2）由（1）知平面，平面，从而，如图，以为原点建立空间直角坐标系．……………………6分
∵，∴，
则由，知，∴，
则，，，，，，．……………………7分
设平面的一个法向量，则
由，得，取，可得．……………………9分
设平面的一个法向量，则
由，得，取，可得，……………………11分
∴，
∴二面角平面角的余弦值是．……………………12分
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，，，，，
由题设可知，则 ①……………………2分
又点在椭圆上，∴，解得，所以 ②
①②联立解得，，，
故所求椭圆的方程为．……………………5分
（2）设三点的坐标分别为，，，
由两点在椭圆上，则，则
由（1）－（2），得 （3）．
由线段的中点与线段的中点重合，则．
又，即 （6）……………………8分
把（4）（5）（6）代入（3）整理，得，
于是由，得，，
所以．……………………10分
因为，所以，有，
所以，即的取值范围为．……………………12分
21．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）因 为，且，则
①当时，，函数单调递增，其最小值为，这与函数在上的最小值是相矛盾；
②当时，函数在上有，单调递减，在上有，单调递增，
∴函数的最小值为，得．
③当时，，函数在上单调递减，其最小值为，与最小值是相矛盾．
综上所述，的值为．……………………5分
（2）要证，即证，……………………6分
当时，，，…………7分
令，则，
当时，, 递增；当时，, 递减，
∴在处取得唯一的极小值，即为最小值，即，∴，
∴在上是增函数，∴当 时，为增函数，…………9分
故，故．
令，则．…………10分
∵, ∴，∴，即在上是减函数，
∴时，，所以，即，
所以．……………………12分
请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．【答案】（1）见解析；（2）AD=2．
【解析】（1）由题意知为圆的直径，则．
又∵为中点，∴，．…………2分
由，知，，
∴，则，
∴，∴，即．……………………4分
（2）∵四点共圆，所以，
又∵为的切线，∴，…………6分
∴，∴，且．…………7分
由（1）知，且，，
∴，．…………8分
由切割线定理，得，
，解得．……………………10分
23．【答案】（1）；（2）或15．
【解析】（1）直线的参数方程化为，则
由，，得直线的直角坐标方程为．…………………………2分
由，消去参数，得，即（*），
由，，，代入（*）可得曲线的极坐标方程为．…………………………5分
（2）设直线：与曲线相切．
由（1）知曲线的圆心为，半径为5，则，
解得或，…………………………7分
所以的方程为或，即或．
又将直线的方程化为，
所以或．…………………………10分
24．【答案】（1）6；（2）．
【解析】（1）由，即，，所以．……2分
不等式的整数解为－3，则，解得．
又不等式仅有一个整数解－3，∴．……………………4分
（2）因为的图象恒在函数的上方，故，
所以对任意恒成立．……………………5分
设，则 ……………7分
作出图象得出当时，取得最小值4，
故时，函数的图象恒在函数的上方，
即实数的取值范围是．……………………10分
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