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2016年3月高三模拟考试
理科数学试题卷
时量 120分钟 总分 150分
考生注意:
1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答的答案无效。
3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。
一:选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,满分60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知复数,则对应的点所在的象限为
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知,且,则为
A. B. C. D.
3.下列命题中,真命题是
A., B.,
C.的充要条件是 D.,是的充分条件
4.在如图所示的正方形中随机投掷个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(-1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为
A. B. C. D.
5.若圆C:关于直线对称,则由点向圆所作的切线长的最小值是
A. B. C. D.
6.如图,正方体的棱长为1,是线段上的两个动点,且
,则下列结论中错误的是
A.;
B.三棱锥的体积为定值;
C.平面
D.异面直线、所成的角为定值。
7.如图,在△ABC中,设,,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P,若,则对应的值为
A. B. C. D.
8.函数的图象如图所示,则等于
A. B.
C. D.
9.已知集合A-{1,2,3,4,5,6,7,8,9),在集合A中任取三个元素,分别作为一个三位数的个位数,十位数和百位数,
记这个三位数为,现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为,按从大到小排成的三位数记为(例如,则,),阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个,则输出的值为
A.792 B.693
C.594 D.495
10.如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式共有
A. B. C. D.
11.如图,正方体中,为棱的中点,用过点的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为
第11题图
A B C D
12.对于曲线所在平面内的点,若存在以为顶点的角,使得对于曲线上的任意两个不同点、恒成立,则称为曲线相对于的“界角”,并称最小的“界角”为曲线相对于的“确界角”,已知曲线:,(其中为自然对数的底数),为坐标原点,则曲线相对于的“确界角”为
A. B. C. D.
二:填空题:(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
13.若函数,为偶函数,则实数
14.若抛物线上两点、关于直线对称,且,则实数的值为
15.若满足且的最大值为4,则的值为 .
16.已知是圆心在坐标原点的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且 点的纵坐标为,点的横坐标为,则COS= .
三:解答题:(本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知数列的前项和为,,。
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求数列的通项公式。
18.(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,底面是矩形,底面,,,点是的中点,点在边上移动.
(Ⅰ)点为的中点时,试判断与平面的位置 关系,并说明理由;
(Ⅱ)当为何值时,与平面所成角的大小为
19. (本小题满分12分)
小王为了锻炼身体,每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图(图1)及相应的消耗能量数据表(表1)如下.
图1 表1
(Ⅰ)求小王这天 “健步走”步数的平均数;
(Ⅱ)从步数为千步、千步、千步的几天中任选天,设小王这天通过健步走消耗的“能量和”为,求的分布列.
20. (本小题满分12分)
已知椭圆:的离心率为,点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设动直线与椭圆有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点为圆心的圆,满足此圆与相交两点、(两点均不在坐标轴上),且使得直线、的斜率之积为定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若存在,使得(是自然对数的底数),
求实数的取值范围。
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22、(本小题满分10分)【选修4一1:几何证明选讲】
如图,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E.证明:
①BE=EC;
②AD·DE=2PB2.
23.(本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]
以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度.设圆C:(θ为参数)上的点到直线的距离为d.
①当k=3时,求d的最大值;
②若直线l与圆C相交,试求k的取值范围.
24.(本小题满分10分)[选修4-5:不等式选讲]
已知实数、满足:关于的不等式的解集为R。
①求、的值;
②若、、,且,求证:
2016年3月高三模拟考试
理科数学(参考答案)
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
D
D
C
D
A
A
D
D
C
B
二、填空题
13. 14. 15. 16 .
三、解答题
17. 解:(1) 4分
又
6分
(2) 由,求得 8分
由知 数列和都是公差为4的等差数列
12分
18. 解:(1)当点E为BC的中点时,EF与平面PAC平行.
∵在△PBC中,E、F分别为BC、PB的中点,
∴EF∥PC. 2分
又EF平面PAC,
而PC平面PAC
∴EF∥平面PAC. 4分
(2)证明:建立如图所示空间直角坐标系,则
P(0,0,1),B(0,1,0),F(0,,),D(,0,0), 6分
设平面PDE的法向量为 ,
由,即
可得. 9分
而,依题意PA与平面PDE所成角为45°,
所以 ∴, 10分
得或 (舍). 11分
故BE=-时,PA与平面PDE所成角为45° 12分
19. 解:(I) 小王这8天 “健步走”步数的平均数为
(千步). 4分
(II)的各种取值可能为800,840,880,920. 5分
,
9分
的分布列为:
800
840
880
920
12分
20.(Ⅰ)解:由题意,得,, 2分
又因为点在椭圆上,
所以, 3分
解得,,,
所以椭圆C的方程为. 5分
(Ⅱ)结论:存在符合条件的圆,且此圆的方程为. 6分
证明如下:
假设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为.
当直线的斜率存在时,设的方程为. 7分
由方程组 得, 8分
因为直线与椭圆有且仅有一个公共点,
所以,即. 9分
由方程组 得, 10分
则.
设,,则,, 11分
设直线, 的斜率分别为,,
所以
, 12分
将代入上式,得.
要使得为定值,则,即,验证符合题意.
所以当圆的方程为时,
圆与的交点满足为定值. 13分
当直线的斜率不存在时,由题意知的方程为,
此时,圆与的交点也满足.
[假设圆符合要求,当直线为时,
求得;
当直线为时,求得。
令 解得
以下证明圆符合要求]
()
21. 解:(Ⅰ). 1分
因为当时,,在上是增函数,
因为当时,,在上也是增函数,
所以当或,总有在上是增函数, 2分
又,所以的解集为,的解集为, 3分
故函数的单调增区间为,单调减区间为. 4分
(Ⅱ)因为存在,使得成立,
而当时,,
所以只要即可. 5分
又因为,,的变化情况如下表所示:
减函数
极小值
增函数
所以在上是减函数,在上是增函数,所以当时,的最小值,的最大值为和中的最大值. 7分
因为,
令,因为,
所以在上是增函数.
而,故当时,,即;
当时,,即. 9分
所以,当时,,即,
函数在上是增函数,解得; 10分
当时,,即,
函数在上是减函数,解得. 11分
综上可知,所求的取值范围为. 12分
22.证明:① ∵ ∴ 2分
又 ∴
∴
∴
∴ BE=EC. 5分
② ∵AD·DE=BD·DC,PA2=PB·PC,PD=DC=PA,
BD·DC=(PA-PB)PA=PB·PC-PB·PA=PB·(PC-PA),
∴PB·PA=PB·2PB=2PB2. 10分
23.解:①由l:ρcos=3,
得l:ρcosθcos+ρsinθsin=3,
整理得l:x+y-6=0. 2分
则d== 4分
∴dmax==4. 5分
②将圆C的参数方程化为普通方程得x2+y2=2,
直线l的极坐标方程化为普通方程
得 x+y-k=0. 7分
∵直线l与圆C相交,∴圆心O到直线l的距离d