于都三中高二月考数学试卷
一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)
1、复数=( )
A. B. C. D.
2、当x=（ ）时，复数（x∈R）是纯虚数
A．1 B．1或-2 C．-1 D．-2
3.已知实数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4函数在点（x0，y0）处的切线方程为，则等于( ) A．－4 B．－2 C．2 D．4
5．已知x、y的取值如下表所示：
6． 某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A．72π B．48π C．30π D．24π
7．取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是（ ）.
A. B. C. D.不确定
8．对同一目标进行三次射击，第一、二、三次射击命中目标的概率分别为0.4，0.5和
0.7，则三次射击中恰有二次命中目标的概率是 （ ）
A．0.41 B．0.64 C．0.74 D．0.63
9. 已知双曲线的焦点为，点M在双曲线上，且，则点M到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
10.2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是（ ）
A．－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6
11.由半椭圆（≥0）与半椭圆（≤0）合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中，．由右椭圆（）的焦点和左椭圆（）的焦点，确定的叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆（）的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12. 定义一种运算“”：对于自然数满足以下运算性质：（1），（2），则等于（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每空5分，共20分）
13经过圆x2＋y2＝r2上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆类似的性质为_______ __．
14. 、设抛物线y2=16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|= .
15.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是__________．
16. 已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是 .
三、解答题
17．(10分)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：χ2＝，
P(χ2≥k)
0.90
0.95
0.99
k
2.706
3.841
6.635
18.(12分)已知集合Z＝{(x，y)|x∈[0,2]，y∈[－1,1]}
(1)若x，y∈Z，求x＋y≥0的概率；
(2)若x，y∈R，求x＋y≥0的概率．
19. .(12分) 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：
(1)这个正三棱锥的表面积；
(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．
20.(12分)．已知椭圆G：(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为(，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
21．.(12分)已知函数(,为自然对数的底数).
(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;
(2)求函数的极值;
(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.
22.(12分). 给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.
（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；
（ⅱ）求证：线段的长为定值并求该定值.
参考答案
CABDB CBA DD CA
13. 经过椭圆上一点M（x0，y0）的切线方程为
14.13 15 16. 1
17.解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为××2＝，
则正棱锥侧面的斜高为＝.
∴S侧＝3××2×＝9.
∴S表＝S侧＋S底＝9＋××(2)2
＝9＋6.
(2)设正三棱锥P ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.
∴VP ABC＝VO PAB＋VO PBC＋VO PAC＋VO ABC
＝S侧·r＋S△ABC·r＝S表·r
＝(3＋2)r.
又VP ABC＝×××(2)2×1＝2，
∴(3＋2)r＝2，
得r＝＝＝－2.
∴S内切球＝4π(－2)2＝(40－16)π.
V内切球＝π(－2)3＝(9－22)π.
18. 解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝＝＝≈4.762.
由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，
其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1，2，bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1，2，3.
Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．
事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝.
19. (1)设“x＋y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0,2]，即x＝0,1,2；y∈[－1,1]，即y＝－1,0,1.
则基本事件有：(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)共9个．其中满足“x＋y≥0”的基本事件有8个，∴P(A)＝.
故x，y∈Z，x＋y≥0的概率为.
(2)设“x＋y≥0，x，y∈R”为事件B，∵x∈[0,2]，y∈[－1,1]则
基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．
∴P(B)＝＝＝＝，故x，y∈R，x＋y≥0的概率为.
20. 解：由已知得，，．解得．
又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为．
设直线l的方程为y＝x＋m． 由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0．①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜x2)，AB中点为E(x0，y0)，
则，y0＝x0＋m＝．
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB．
所以PE的斜率．解得m＝2．
此时方程①为4x2＋12x＝0．解得x1＝－3，x2＝0．
所以y1＝－1，y2＝2．所以|AB|＝．此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为，所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝．
21. 解:(Ⅰ)由,得.
又曲线在点处的切线平行于轴,
得,即,解得.
(Ⅱ),
①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.
②当时,令,得,.
,;,.
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上,当时,函数无极小值;
当,在处取得极小值,无极大值.
(Ⅲ)当时,
令,
则直线:与曲线没有公共点,
等价于方程在上没有实数解.
假设,此时,,
又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“
方程在上没有实数解”矛盾,故.
22. 解：（1），椭圆方程为，准圆方程为.
（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，
设过点且与椭圆相切的直线为，
所以由得.
因为直线与椭圆相切，所以，解得，
所以方程为.
，.
（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，
则：，当：时，与准圆交于点，
此时为（或），显然直线垂直；
同理可证当：时，直线垂直.
②当斜率存在时，设点，其中.
设经过点与椭圆相切的直线为，所以由
得 .
由化简整理得 ，
因为，所以有.
设的斜率分别为，因为与椭圆相切，
所以满足上述方程， 所以，即
垂直.
综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且 垂直.
所以线段为准圆的直径， ，
所以线段的长为定值.
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