湖北省枣阳市第一中学2015-2016学年度下学期高二年级3月月考数学（理科）试题
本试卷两大题22个小题，满分150分，考试时间120分钟
★ 祝考试顺利 ★
第I卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．双曲线的焦距是（ ）
A．4 B． C．8 D．与有关
2．抛物线 的焦点坐标为（ ） .
A． B． C． D．
3．F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足∣P F1∣·∣P F2∣=32，则∠F1PF2是（ ）
钝角 （B）直角 （C）锐角 （D）以上都有可能
4． 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线
的一个交点为，若，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B． C. D．
5．若点 到点 的距离比它到直线 的距离小1，则 点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列说法中错误的个数为
①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③是的充要条件；④与是等价的；⑤“”是“”成立的充分条件. （ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
7． 给出下列命题：
①已知椭圆两焦点，则椭圆上存在六个不同点，使得△为直角三角形；
②已知直线过抛物线的焦点，且与这条抛物线交于两点，则的最小值为2；
③若过双曲线的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则；
④根据气象记录，知道荆门和襄阳两地一年中雨天所占的概率分别为20％和18％，两地同时下雨的概率为12％，则荆门为雨天时，襄阳也为雨天的概率是60％.
其中正确命题的序号是( )
A．①③④ B．①②③ C．③④ D．①②④
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
9．已知椭圆的右焦点为F1，左焦点为F2，若椭圆上存在一点P，满足线段PF1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF1的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是双曲线上任意一点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为、，则的值是（ ）
A． B． C． D．不能确定
11．在双曲线 （a＞0，b＞0）中，，直线与双曲线的
两条渐近线交于A，B两点，且左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）[来源:学科网]
A．（0，） B．（1，） C． D．（，＋∞）
12．已知抛物线的焦点为F，直线与该抛物线交于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若，则的值为（ ）
（A） （B） （C）1 （D）2
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．设为原点，是抛物线上一点，为焦点， ，则 ．
14．抛物线 上的一点 到 轴的距离为12，则 与焦点 间的距离 =______．
15．设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为____________．
16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；
②过定圆上一定点作圆的动弦，则弦中点P的轨迹为椭圆；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线与椭圆有相同的焦点．
其中真命题的序号为__________．（写出所有真命题的序号）
三、解答题（本大题共6个小题，满分70分
17．已知p: ,q: ,若是
的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
18．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并于双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为，求抛物线的方程和双曲线的方程。
19．（本小题满分12分）已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称．线段的中垂线分别与交于两点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）斜率为1的直线与曲线交于两点,若（为坐标原点），求直线的方程．
P
M
N
x
y
m
20．已知椭圆C：（）的右焦点为F（1，0），且（，）在椭圆C上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
21．（2004•北京）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．
（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．
22．已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足．
（Ⅰ）求出动点的轨迹对应曲线的标准方程；
（Ⅱ）一条纵截距为的直线与曲线交于，两点，若以直径的圆恰过原点，求出直线方程；
（Ⅲ）直线与曲线交于、两点，，试问：当变化时，是否存在一直线，使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由
参考答案
1．Ｃ
【解析】
试题分析：因为表示双曲线，所以，双曲线焦距为2 =8，选C.
考点：本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质。
点评：简单题，理解双曲线的几何性质。
2．D
【解析】本题考查抛物线的几何性质
抛物线的的焦点坐标为
由得，则其焦点坐标为
故正确答案为D
3．A
【解析】本题考查双曲线的几何性质
由双曲线知，则；
点在双曲线上，则，平方得，即；因为，所以
又由余弦定理得
即，所以
故正确答案为B
原答案A不正确
4．A
【解析】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，
∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c，c=2，
∵设P（m，n），由抛物线定义知：
|PF|=m+p 2 =m+2=5，∴m=3．
∴P点的坐标为（3，）
∴a 2+b 2=4
9/ a 2 -24 /b 2 =1 解得： a 2=1 ,b 2=3 ，c=2
则双曲线的渐近线为，
故答案为：A
5．B
【解析】C
根据题意，点P到直线x=-4的距离等于它到点（4，0）的距离．由抛物线的定义与标准方程，不难得到P点的轨迹方程．
解答：解：∵点P到点（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离少1，
∴将直线x+5=0右移1个单位，得直线x+4=0，即x=-4，
可得点P到直线x=-4的距离等于它到点（4，0）的距离．
根据抛物线的定义，可得点P的轨迹是以点（4，0）为焦点，以直线x=-4为准线的抛物线．
设抛物线方程为y2=2px，可得p/2=4，得2p=16，
∴抛物线的标准方程为 y2=16x，即为P点的轨迹方程．
故选：C.
6．C
【解析】①一个命题的逆命题和否命题是等价命题，正确；②一个命题的否命题为假，则它本身不一定为为假，错误；③是的充分不必要条件，错误；④如果则与是不等价的，错误；⑤当时，
，故是不充分的，错误，因此有4个命题是错误的。
7．A
【解析】解：
命题①已知椭圆两焦点，则椭圆上存在六个不同点，使得△为直角三角形，根据以焦距为直径的圆与椭圆的位置关系可知，成立。
命题②已知直线过抛物线的焦点，且与这条抛物线交于两点，则的最小值为1/2；错误
命题③若过双曲线的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则；利用点到直线的距离可知，成立。
命题④根据气象记录，知道荆门和襄阳两地一年中雨天所占的概率分别为20％和18％，两地同时下雨的概率为12％，则荆门为雨天时，襄阳也为雨天的概率是60％.利用独立时间概率的乘法公式满足题意。
8．Ｂ
【解析】
试题分析：设P（x，y），由焦半径得丨PF1丨=ex+a，丨PF2丨=ex-a，
∴ex+a=4（ex-a），化简得e=，
∵p在双曲线的右支上，
∴x≥a，∴e≤，即双曲线的离心率e的最大值为。故选B。
考点：本题主要考查双曲线的定义、双曲线的标准方程及几何性质。
点评：注意“焦半径”的利用，简化了解题过程。
9．A
【解析】
试题分析：设以椭圆的短轴为直径的圆与线段相切于点M，连结、，
∵M、O分别为、的中点，∴∥，且，
又∵线段与圆O相切于点M，可得OM⊥，∴⊥，
Rt△中，||=2c，||=2b，∴，
根据椭圆的定义，得||+||=2a，∴，
解得，因此，椭圆的离心率
考点：椭圆方程及性质
10．A
【解析】
试题解析：令点，因该双曲线的
渐近线分别是，，
所以，，又
，
所以，选A．
此题可以用特殊位置法解决：令P为实轴右顶点，此时
，选A．
考点：1．双曲线标准方程及其几何性质；2．平面向量的数量积．
11．B
【解析】
试题分析：两条渐近线方程是，当时，那么圆的半径，那么左焦点到圆心的距离，即，即，那么，根据，整理为，那么，解得，故选B．
考点：双曲线的性质
12．B
【解析】
试题分析：设，把直线代入，得，则由韦达定理知，所以，所以，同理，，因为，即
，代入整理得，解得，故选B．
考点：抛物线的几何性质．
【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质、直线与抛物线的位置关系的应用，同时着重考查了直线方程与圆锥曲线方程联立，韦达定理的运用及分析解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，把设，把直线代入的方程，利用韦达定理得， ，结合向量的运算公式，即可求解结论．
13．
【解析】
试题分析：根据题意设，则根据，可知点到抛物线的准线的距离为，结合抛物线的准线方程为，所以有，从而有，故．
考点：抛物线的几何性质．
14．13
【解析】
考点：抛物线的简单性质．
分析：先把点P的纵坐标代入抛物线方程求得点P的横坐标，进而根据抛物线的定义求得答案．
解：依题意可知点P的纵坐标|y|=12，代入抛物线方程求得x=9
抛物线的准线为x=-4，
根据抛物线的定义可知点P与焦点F间的距离9+4=13
故答案为13
15．9
【解析】
试题分析：设两圆和圆心分别为A，B，则A，B正好为双曲线两焦点，，即最大值为9
考点：双曲线定义
16．③④
【解析】
试题分析：①不正确；当时动点的轨迹才为双曲线．
②不正确；由题意知垂直平分,当为直径时与
重合,此时不满足椭圆的定义．
③正确；解得或．．所以和可分别作为椭圆和双曲线的离心率．
④正确；由双曲线方程可知焦点在轴上且；由椭圆方程可知焦点在轴上且,所以此双曲线和椭圆有相同焦点．
考点：1双曲线,椭圆的定义；2双曲线,椭圆的简单几何性质．
17．
【解析】由p：
18．解：由题意可知，抛物线的焦点在x轴，又由于过点，所以可设其方程为 ∴=2 所以所求的抛物线方程为
所以所求双曲线的一个焦点为（1，0），所以c=1，所以，设所求的双曲线方程为 而点在双曲线上，所以 解得 所以所求的双曲线方程为
【解析】本试题主要考查了抛物线方程的求解以及双曲线与抛物线的交点问题的综合运用。
19．（1）；（2）.
【解析】第一问中，由题意得，圆的半径为，且 … 1分
从而
∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆
第二问中，设直线的方程为,由
可得则,即
由可得,即结合韦达定理的得到。
解：（1）由题意得，圆的半径为，且 … 1分
从而 …………………………… 3分
∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆, ………………………………………… 5分
其中长轴,得到,焦距，则短半轴
椭圆方程为: ………………………………………………………… 6分
（2）设直线的方程为,由
可得 …………………………………………………………… 8分
则,即 ① …………………………………9分
设,则
由可得,即 …………………10分
整理可得
化简可得,满足①式，故直线]的方程为： …………………12分
20．（1） ;（2） 在x轴上存在点Q（，0）使得恒成立．
【解析】
试题分析：（1）根据椭圆的定义椭圆上的点到两焦点的距离和等于，计算，再根据，计算椭圆的标准方程；
（2）假设在轴上存在点，使恒成立，那么分直线的斜率存在和不存在两种情况证明，当不存在时，会得到两点的坐标，计算出的值，当直线的斜率存在且为0时，将代入数量积的坐标表示成立，当斜率存在且不为0时，设直线方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，同样将代入向量的数量积的坐标表示，成立即存在．
试题解析：解：（1）由题意知c=1．由椭圆定义得，即 --3分
∴，椭圆C方程为．
（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立。
当直线l的斜率不存在时，A（1，），B（1，），由于（）·（）=，所以，
下面证明时，恒成立。（直线方程其它设法通过验证也相应给分）
当直线l的斜率为0时，A（，0）B（，0）
则（，0）（，0）=，符合题意。
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A，B，
由x=ty+1及得
有∴；
，
∴==
，
综上所述：在x轴上存在点Q（，0）使得恒成立。
考点：直线与椭圆的位置关系的应用
21．（Ⅰ）抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=﹣1；
（Ⅱ）y1+y2=﹣4，
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．
（Ⅱ）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则可分别表示kPA和kPB，根据倾斜角互补可知kPA=﹣kPB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．
解：（Ⅰ）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px
∵点P（1，2）在抛物线上∴22=2p×1，得p=2
故所求抛物线的方程是y2=4x
准线方程是x=﹣1
（Ⅱ）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB
则，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补
∴kPA=﹣kPB
由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1（1）y22=4x2（2）
∴
∴y1+2=﹣（y2+2）
∴y1+y2=﹣4
由（1）﹣（2）得直线AB的斜率
考点：抛物线的应用．
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在，理由见解析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由向量的坐标去算及可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）由题意知，直线斜率必存在，设直线为，联立椭圆方程，结合为直径求出的值，从而求得直线方程； （Ⅲ）联立直线与椭圆方程，以及三角形的面积公式得到，从而结合条件求出的值，进而作出判断．
试题解析：（Ⅰ）因为，即
所以，所以
又因为，所以，即，即
所以椭圆的标准方程为
（Ⅱ）直线斜率必存在，且纵截距为，设直线为
联立直线和椭圆方程，得:
由，得
设，则 （1）
以直径的圆恰过原点，所以，，即，
也即，即
将（1）式代入，得，即
解得，满足（*）式，所以
所以直线的方程为
（Ⅲ）由方程组，得
设，则
所以
因为直线过点，
所以的面积
，则不成立
不存在直线满足题意
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