1
拓展：15 角的三角函数值
1. 三角函数
2. 特殊 角的三角函数值
角度
值
函数
30° 45° 60°
sin
cos
tan 1
3. 角的三角函数值的求法
在 Rt 中， ， ，求 角的三角函数值。
解答：延长 CA 到 D，使 AD＝AB，连接 BD，设 BC＝a。
在 Rt 中， ， ，
。
在 中，AD＝AB， ，
在 Rt 中，BC＝a，DC＝DA＋AC＝ ，
＝
sinA a
c
= =对边
斜边 cosA b
c
= =邻边
斜边 tanA a
b
= =对边
邻边
α 1
2 2
2
2
3
α
2
3
2
2 1
2
α
3
3 3
15
ABC∆ 90=∠C 30=∠BAC 15
ABC∆ 90=∠C 30=∠BAC
a3,2 ==∴ ACaAB
BAD∆ 30=∠BAC
15=∠=∠∴ DBAD
DBC∆ a)23( +
22222 )23(a aDCBCBD ++=+=∴
2222 )31(2)324(2)348( +=+=+ aaa2
＝（1＋ ） a＝（ ）a
根据互为余角的三角函数的关系：
，
。
例题 如图，在 Rt 中， ， ，求 角的 三角函数值。
解析：通过作 的平分线 AD，构造 ，然后通过
Rt ，利用三角函数的定义求 角的三角函数值。
答案：作 的平分线 AD，
， 。
在 Rt 中， ， 。
设 BC＝a，则 AB＝2a，AC＝ a。
将 沿 AD 翻折，交 AB 于点 E，则
于是 BE＝AB－AE＝（2－ ）a，∵∠B＝60°，∠BED＝90°，
∴ ，得 BD＝2（2－ ）a，∴
∴ AD ＝ ＝
∴sin15 ＝ 。
3 2 26 +
4
26
)26(
a15sin
−=
+
==∴
aBD
BC
3215tan4
2615cos −==+==
DC
BC
BD
DC
4
2615cos75s
+== in 4
2615sin75cos
−==
3215cot75tan +==
ABC∆ 90=∠C 30=∠BAC 15
BAC∠ 15=∠=∠ BADDAC
ACD∆ 15
BAC∠
30=∠BAC 15=∠=∠∴ BADDAC
ABC∆ 90=∠C 30=∠BAC
3
ACD∆ ,AEDACD ∆≅∆
3
30=∠BDE 3 aaaCD )332()32(2 −=−−=
a3122422 −=+ ACDC aa 2)31(6)324(6 −=−=
a)13(6 −
4
26 −=
AD
DC3
点拨：通过辅助线构造出 角，把这个角放到直角三角 形中，然后推导边与边之间的
关系是解决问题的关键。
【方法总结】
在 30°、45°、60°角的三角函数值的基础上，要求 15°或 75°角的三角函数值，只
需把 15°或 75°角放到直角三角形中，求出该三角形各边的长度即可。
例题 如图，把含 30°角的三 角板 ABC，绕点 B 逆时针旋转 90°到三角板 DBE 的位置
（如图所示），求sin∠ADE 的值。
解析：过点 E 作 EF⊥AD，且交 AD 于点 F；设 BD＝x，进而可得 AB、BE、AD 的值，利用
边的关系可得 AE 的值；在Rt△AEF 中，由三角函数的定义可得 EF、AF 的值；最后在Rt△DEF
中，根据三 角函数的定义可得 sin∠ADE 的值。
答案：过点 E 作 EF⊥AD，且交 AD 于点 F；
设 BD＝x，则 AB＝x，BE＝ x，AD＝ x；
DE＝ ，
在 Rt△AEF 中，AE＝x－ x＝ x；
易得 EF＝ •AE＝ x；
则 AF＝EF＝ x，
在 Rt△DEF 中，
根据三角函数的定义可得：sin∠ADE＝ ＝
答：sin∠ADE 的值为 。
15
3
3 2
xxxBEBD 3
32)3
3( 2222 =+=+
3
3
3
33 −
2
2 3 2 6
6
−
6
623 −
EF
DE
4
26 −
4
26 −4
点拨：本题考查锐角三角函数的概念，关键是将∠ADE 放到直角三角形中，用同一未知
数表示出该角的对边和斜边。同理还能求出这个角的其它三角函数值。
（答题时间：30 分钟）
一、选择题
1. 在正方形网格中，△ABC 的位置如图，则 sin∠ABC 的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，△ABC 中，AB＝BC＝CA，则 sin∠A 的值是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O， 点 M、N 分别为 OB、OC 的中点，则
sin∠OMN 的值为（ ）
3
3
2
3
2
2
2
1
2
1
2
3
3
3 35
A. B. 1 C. D.
4. 如图，矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝ ，AC 与 BD 相交于 O，则 tan∠AOB 等于（ ）
A. B. C. 1 D.
5. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC＝67.5°，AD＝BD，则 sin∠ADC＝（ ）
A. B. C. D.
6. 把一块直尺与一块三角板如图 放置，若 sin∠1＝ ，则∠2 的度数为（ ）
A. 120° B. 135° C. 145° D. 150°
二、填空题
7.如图：将三角板的直角顶点放置在直线 AB 的点 O 处，使斜边 CD∥AB，则∠α的正弦值
是 。
8. 如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OM 交于点 A，再以 A 为圆心，AO 长为
半径画弧，两弧交于点 B，画射线 OB，则 cos∠AOB 的值等于 。
2
1
2
2
2
3
3
3 3
3
3
2
1
2 2
2
3
3
2
3
2
26
9. 图 1 是一张 Rt△ABC 纸片，如果用两张这种纸片恰好能拼成一个正三角形（图 2），那
么在 Rt△ABC 中，sin∠B 的值是 。
10. 如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于 D，BC＝ ，AC＝3，则 BD＝ 。
11. 因为 sin30°＝ ，sin210°＝－ ，所以 sin210°＝sin（180°＋30°）＝－
sin30°，因为 sin45°＝ ，sin225°＝－ ，所以 sin225°＝sin（180°＋45°）＝
－sin45°；由此猜想、推理知：一般地，当 α 为锐角时有 sin（180°＋α）＝－sinα，
由此可知：sin240°＝ 。
12. 如图，ABCD，BEFC 是两个全等的正方形，则 tan（∠BAF＋∠AFB）等于 。
3
1
2
1
2
2
2
2
27
一、选择题
1. C 解析：设小正方形的边长为 1，则 BC＝4 ，∠B 的对边长为 4，
∴sin∠B＝ ＝ 。
2. B 解析：∵AB＝BC＝CA，
∴△ABC 是等边三角形，
故可得∠A＝60°，sin∠A＝ 。
故选 B。
3. C 解析 ：在正方形 ABCD 中，
OB＝OC，∠MON＝90°，
又∵点 M、N 分别为 OB、OC 的中点，
∴ON＝OM，
∴∠OMN＝45°，
∴sin∠OMN＝sin45°＝ 。
故选 C。
4. A 解析：因为 ABCD 是矩形，所以 AO＝BO，则∠OAB＝∠OBA。
∵AB＝1，BC＝ ，∴tan∠CAB＝ ，
∴∠CAB ＝60°，
∴△AOB 为等边三角形，
∴tan∠AOB＝tan60°＝ 。
故选 A。
5. B 解析：∵Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC＝67.5°，
∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－67.5°＝22.5°，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝22.5°，
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝22.5°＋22.5°＝45°，
∴sin∠ADC＝ sin45°＝ 。
故选 B。
6. B 解析：∵sin∠1＝ ，
∴∠1＝45°，
∵直角△EFG 中，∠3＝90°－∠1＝90°－45°＝45°，
∴∠4＝180°－∠3＝135°，
又∵AB∥CD，
∴∠2＝∠4＝135°。
故选 B。
2
24
4
2
2
2
3
2
2
3 3
3
2
2
2
28
二、填空题
7. 解析：∵CD∥AB，
∴∠AOC＝∠OCD＝30°，∠α＝180°－30°－90°＝60°，
∴sinα＝sin60°＝
8. 解析：连接 AB，
由画图可知：OA＝OB，AO＝AB
∴OA＝AB ＝OB，即三角形 OAB 为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴cos∠AOB＝cos60°＝ 。
9. 解析：∵两张这种 纸片恰好能拼成一个正三角形，
∴∠B＝60°，sin∠B＝ 。
10. 解析：∵tan∠A＝
∴∠A＝30°
∴∠BCD＝30°
∴BD＝ BC＝ 。
11. 解析：∵当 α 为锐角时有 sin（180°＋α）＝－sinα，
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2
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3=
AC
BC
2
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39
∴sin240°＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－ 。
12. 1 解析：∵∠FBE 是△ABF 的一个外角，
∴∠ BAF＋∠AFB＝∠FBE，
∴tan（∠BAF＋∠AFB）＝tan∠FBE＝ ＝1。
2
3
BE
FE
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