衡阳八中2016年上期高一年级第一次月考综合检测
数学（试题卷）
注意事项：
1.本卷共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
一.选择题（每题5分，共60分。在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。）
1.已知，则sinθ﹣cosθ的值为( )
A． B． C． D．
2.如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（ ） A． B． C． D．
3.已知为锐角，且有，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
4.设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立. 如果实数满足不等式组，那么的取值范围是（ ）
A.(3, 7) B.(9, 25) C. (9, 49) D. (13, 49)
5.函数y=﹣x·cosx的部分图象是( )
A． B．
C． D．
6.不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：
①，②，③，④
其中假命题有：( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7.一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣
8.如果扇形圆心角的弧度数为2，圆心角所对的弦长也为2，那么这个扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
9.已知角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P（sin，cos），则角α的最小正值为( )
A． B． C． D．
10.设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数( )
（1）f（x）的图象过点（0，）
（2）f（x）的一个对称中心是（）
（3）f（x）在[]上是减函数
（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．
A．4 B．3 C．2 D．1
11.已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有（ ）
A．6个 B．4个 C．7个 D．8个
12.设函数的定义域，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）．若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二.填空题（每题5分，共20分）
13.若，则的值为 .
14.设函数y=sinx（0≤x≤π）的图象为曲线C，动点A（x，y）在曲线C上，过A且平行于x轴的直线交曲线C于点B（A、B可以重合），设线段AB的长为f（x），则函数f（x）单调递增区间 ．
15.将函数y=sinx的图象向右平移三个单位长度得到图象C，再将图象C上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到图象C1，则C1的函数解析式为 ．
16.已知x∈R，符号表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论：
①函数f（x）的值域为；
②函数f（x）的图象是一条曲线；
③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；
④函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时．
其中正确的序号为 ．
三.解答题（共6题，共70分）
17.（本题满分10分）如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，0≤φ≤）的部分图象，其图象与y轴交于点（0，）
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若，求的值．
18.（本题满分10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=2AB=2，且BC1⊥A1C．
（1）求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；
（2）设D是线段BB1的中点，求三棱锥D﹣ABC1的体积．
19.（本题满分11分）已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（Ⅱ）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．F，G是曲线D上不同的两点，对于定点Q（﹣3，0），有|QF|•|QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．
20.（本题满分12分）函数f（x）=（cosx﹣sinx）•sin（）﹣2asinx+b（a＞0）．
（1）若b=1，且对任意，恒有f（x）＞0，求a的取值范围；
（2）若f（x）的最大值为1，最小值为﹣4，求实数a，b的值．
21.（本题满分13分）函数f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b
（1）若时，求f（sinθ）的最大值；
（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f（x）的表达式．
22.（本题满分14分）已知函数，当时，恒有.当时，
（1）求证：是奇函数；
（2）若，试求在区间上的最值；
（3）是否存在，使对于任意恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.
衡阳八中2016年上期高一年级第一次月考数学参考答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
D
D
D
D
A
D
C
B
B
非选择题
13. 14.[] 15.y=sin（2x﹣3） 16.
17.（ I）∵0≤φ≤，
∴由五点对应法得，解得ω=2，φ=，
则f（x）=Asin（ωx+φ）=Asin（2x+），
∵图象与y轴交于点（0，），
∴f（0）=Asin=，解得A=2，
故．
（ II）∵，
∴得，
则===．
18.（1）证明：在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，有A1A⊥面ABC，而AB⊂面ABC，
∴A1A⊥AB，
∵A1A=AC，∴A1C⊥AC1，
又BC1⊥A1C，BC1⊂面ABC1，AC1⊂面ABC1，BC1∩AC1=C1
∴A1C⊥面ABC1，
而A1C⊂面A1ACC1，则面ABC1⊥面A1ACC1 …
（2）解：由（1）知A1A⊥AB，A1C⊥面ABC1，A1C⊥AB，故AB⊥面A1ACC1，
∴AB⊥AC，
则有AC⊥面ABB1A1，
∵D是线段BB1的中点，
∴．
19.（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），
则由|PO|=|PA|得λ（x2+y2）=（x﹣3）2+y2，
整理得：（λ﹣1）x2+（λ﹣1）y2+6x﹣9=0，
∵λ＞0，∴当λ=1时，方程可化为：2x﹣3=0，方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；
当λ≠1时，则方程可化为， +y2=，
即方程表示的曲线是以（﹣，0）为圆心，为半径的圆．
（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x2+y2+2x﹣3=0，
故曲线D表示圆，圆心是D（﹣1，0），半径是2．
设点Q到直线FG的距离为d，∠FQG=θ，
则由面积相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2．
即d===1．于是顶点Q到动直线FG的距离为定值，
即动直线FG与定圆（x+3）2+y2=1相切．
20.（1）当b=1时，函数式可化简如下：
f（x）=（cosx﹣sinx）•（cosx+sinx）﹣2asinx+1
=（cos2x﹣sin2x）﹣2asinx+1=﹣sin2x﹣2asinx+，
令t=sinx（0＜t＜），对任意x∈（0，），恒有f（x）＞0，
即为﹣t2﹣2at+＞0，分离参数得：﹣2a＞t﹣，
由t﹣在（0，）递增，所以，t﹣＜﹣3=﹣，
因此，﹣2a＞﹣，解得，0＜a＜，
即实数a的取值范围为（0，）；
（2）f（x）=﹣sin2x﹣2asinx+b+，令t=sinx（﹣1≤t≤1），
记g（t）=﹣t2﹣2at+b+，图象的对称轴t=﹣a＜0，且开口向下，
①当﹣a≤﹣1时，即a≥1，函数g（t）在上单调递减，则
g（t）max=g（﹣1）=﹣1+2a+b+=1，
g（t）min=g（1）=﹣1﹣2a+b+=﹣4，
解得a=，b=﹣1；
②当﹣1＜﹣a＜1时，即0＜a＜1，函数g（t）在上先增后减，则
g（x）max=g（﹣a）=+b+a2=1，
g（x）min=g（1）=﹣1﹣2a+b+=﹣4，
解方程可得a=﹣1，b=2﹣，由于a=﹣1＞1，不合题意，舍去．
综上可得a=，b=﹣1．
21.（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，
∵a＞0，抛物线开口向上，二次函数的对称轴，
由二次函数区间的最值可得
（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，则|f（t）|≤1可推得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，
∵a＞0，∴g（sinθ）max=g（1）=2，而g（1）=2a﹣2b=2
而f（0）=b﹣a=﹣1而t∈[﹣1，1]时，|f（t）|≤1，即﹣1≤f（t）≤1，
结合f（0）=﹣1可知二次函数的顶点坐标为（0，﹣1）
∴b=0，a=1，∴f（x）=2x2﹣1．
22.（1）令 则
所以 令 则
所以 即为奇函数；
（2）任取,且
因为 所以
因为当时，，且 所以
即 所以为增函数
所以当时，函数有最小值，
当时，函数有最大值，
（3）因为函数 为奇函数，所以不等式可化为
又因为为增函数，所以 令，则
问题就转化为在上恒成立 即，
令 只需，即可
因为
所以当时， 则
所以，的取值范围就为
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