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2015学年第2学期第2次四校联考
高 三 数 学 试 卷（理 科）
（满分150分，考试时间：120分钟） 2016.3
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1．全集U=R , A=，B={}， 则AB=( ▲ )
A．{} B．{}
C．{} D．{或}
2.设是三个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列说法正确的是( ▲ )
A.若，则 B. 若，则
C.若，则 D. 若，则
3．设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为( ▲ )
A．6 B．4 C．2 D．
4．已知，Q=,若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是( ▲ )
A． B． C． D．
5．函数的部分图象如图所示，则函数表达式为( ▲ )
A． B．
C． D．
6. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为( ▲ )
A． B． C． D．
7.已知 ,符号表示不超过的最大整数,若函数有且仅有3个零点,则的取值范围是( ▲ )
A. B.
C. D.
8．将一个棱长为的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
侧(左)视图
2
9.已知为锐角,,
则 ▲ , ▲ .
10.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，
那么此三棱柱正（主）视图的面积为 ▲ ,体积为 ▲ .
11.若指数函数的图象过点，则 ▲ ，不等式的解集为 ▲ .
12. 已知 ▲ , ▲ .
13．已知正实数满足，且恒成立，则的最大值是
▲ .
14.已知△ABC中，, 则 ▲ .
15.已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，
则取到最小值时的横坐标为 ▲ .
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16. (本题满分15分)已知的角，，所对的边分别为，，，
且.
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)若，，求的值。
17．(本题满分15分)如图,在梯形中,,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
18. (本题满分15分)已知函数，满足：，且在上有最大值．
（I）求的解析式；
（II）当[，]时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．（本题满分15分）已知椭圆上的动点到焦点距离的最小值为。以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，为椭圆上一点， 且满足
（为坐标原点）。当 时，求实数的值．
20. (本题满分14分)数列满足，（）.
（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求出并由此证明：＜.
2015学年第2学期第2次四校联考
高 三 数 学 试 卷（理 科） 参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
C
A
A
A
A
D
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9.; 10. ; 11.
12. 5; 15 13. 14. 15.4
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16. (本题满分15分)解：(Ⅰ)由题，………2分
可得，…………………4分
所以，即…………………7分
(Ⅱ)由得 ，即···············① ·······10分
又，从而，···········② ············13分
由①②可得,所以。 ………………………15分
17．(本题满分15分)证明：（Ⅰ）在梯形ABCD中,∵,
∴四边形ABCD是等腰梯形,
且
∴,∴
又∵平面平面ABCD,交线为AC,
∴平面ACFE. ……………7分
（Ⅱ）方法一;(几何法)取EF中点G,EB中点H,连结DG、GH、DH,
∵容易证得DE=DF,∴
∵平面ACFE,∴ 又∵,∴
又∵,∴ ∴是二面角B—EF—D的平面角. ………11分
在△BDE中∴∴,
∴又∴在△DGH中,
由余弦定理得即二面角B—EF—D的平面角余弦值为 ……………15分
方法二;(向量法)以C为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系:
,,,, ………9分
所以,,
分别设平面BEF与平面DEF的法向量为,
所以,令,则 ………11分
又，显然,令……13分
所以,,设二面角的平面角为为锐角
所以 ……………15分
18、(本题满分15分)
(Ⅰ)因为，得：， ………………2分
又因为， ……………4分
解得： 或 （舍） 即： ……………6分
(Ⅱ)解法一：因为在恒有意义， …8分
则问题为 即对恒成立，
即对恒成立
令，对恒成立，
由 得 …………10分
整理得
问题转化为：求在上的最大值
① 当时，
时，
时，， 成立 …………12分
② 当时，
…………14分
又
综上，实数的取值范围为 ………………15分
19．（本题满分15分）
解：（Ⅰ）由题意知； ………………2分
又因为，所以，． ………………4分
故椭圆的方程为． ………………5分
（Ⅱ）设直线的方程为，，，，
由得． ……………………7分
，． ……………………9分
，．又由，得，
……………………11分
可得． ……………………12分
又由，得，则，． ……………………13分
故，即． ……………………14分
得，，即 ……………………15分
20．(本题满分14分)解析：（Ⅰ）由已知可得，即，
即
即 ……………………………………3分
∴
累加得
又 ∴ …………6分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，∴ ，
………10分
∴
………12分
易知递减∴0＜
∴ ＜，即 ＜ …………14分
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