高二数学文科试题
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.
3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.
第I卷（选择题 共60分）
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知M=且M，则a=（ ）
A．-6或-2 B．-6 C．2或-6 D．-2
2.已知命题：；命题：，则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
3．已知复数z=+i，则z•=( )
A．﹣1 B．1 C．﹣ D．
4．函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
5．设a=log32，b=ln2，c=，则( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
6．下列结论错误的是( )
A．命题“若p，则q”与命题“若¬q，则¬p”互为逆否命题
B．命题p：∀x∈[0，1]，ex≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真
C．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题
D．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题
7设 ，则“ ”是“ ”的( )
A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
8、函数是( )
A.偶函数，在(0，＋∞)是增函数 B.奇函数，在(0，＋∞)是增函数
C.偶函数，在(0，＋∞)是减函数 D.奇函数，在(0，＋∞)是减函数
9． 已知实数x，y满足axln(y2＋1) D.>
10如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是( )
A． B．
C． D．
11．已知直线与函数的图像恰好有3个不同的公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．设集合,,函数若,且, 则的取值范围是( ) A． B． C． D
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在题后的横线上。）
13.已知i是虚数单位，，且，则的共轭复数为_______；
14偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝_______．
15．已知f（x）=x+1og2则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）的值为______．
16．若在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，则a的取值范围是_________
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．( 本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．
(1)证明：f(x)是R上的偶函数．
(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x ＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．
18．已知错误！未找到引用源。
（1）求错误！未找到引用源。的值；
（2）当错误！未找到引用源。（其中错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。为常数）时，错误！未找到引用源。是否存在最小值，如果存在求出最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）当错误！未找到引用源。时，求满足不等式错误！未找到引用源。的错误！未找到引用源。的范围．
19．( 本小题满分12分)
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的参数方程为（θ是参数），直线l的极坐标方程为（ρ∈R）
（Ⅰ）求C的普通方程与极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|的值．
20( 本小题满分12分)
已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有成立.
（1）判断在上的单调性，并证明；
（2）解不等式：；
（3）若当时，对所有的恒成立，求实数m的取值范围.
21( 本小题满分12分)
在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．
22 ( 本小题满分12分)
已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围．
答案
一 选择题
1A 2C 3B 4D 5C 6C 7A 8B 9A 10C 11B 12D
二 填空题
13 i 14 3 15 36 16（﹣∞，1）
三 解答题
17． 已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．
(1)证明：f(x)是R上的偶函数．
(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x ＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．
17．解： (1)证明：因为对任意 x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e －(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，
所以f(x)是R上的偶函数．
(2)由条件知 m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立．
令 t＝ex(x>0)，则 t>1，所以 m≤－＝
－对任意 t>1成立．
因为t－1＋＋ 1≥2 ＋1＝3, 所以 －≥－，
当且仅当 t＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．
因此实数 m 的取值范围是.
解：（1）由 所以f（x）的定义域为：（－1，1），
∴f（x）为奇函数，则： ．∴
（2）设 ，则
∵ ，∴ ， ∴ ，
当 时 ， 在 上是减函数，又
∴ 时， 有最小值，且最小值为
当 时 ， 在 上是增函数，又
∴ 时， 无最小值．
（3）由（1）得
所以
所以X的取值范围是
19．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的参数方程为（θ是参数），直线l的极坐标方程为（ρ∈R）
（Ⅰ）求C的普通方程与极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|的值．
解答： 解：（Ⅰ）由sin2θ+cos2θ=1，可得
圆C的普通方程是（x﹣）2+（y﹣）2=1，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，
又x2+y2﹣x=0，即有ρ2=ρ（cosθ+sinθ），
即有圆的极坐标方程是ρ=2cos（θ﹣）；
（Ⅱ）由圆的极坐标方程可得，
当时，
ρ=2cos（﹣）=2×=，
故|AB|=．
20试题解析：（1）任取，且，则，
又∵为奇函数，
∴，
由已知得，，
∴，即.
∴在上单调递增.
（2）∵在上单调递增，
∴，∴，
∴不等式的解集为.
（3）∵，在上单调递增，
∴在上，，
问题转化为，即对恒成立，求m的取值范围.
下面来求m的取值范围.
设，
①若，则，自然对恒成立.
②若，则为a的一次函数，若对恒成立，
则必须，且，∴
∴m的取值范围是
21．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．
解答： 解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．
∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；
由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，
∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．
由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．
（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，
则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）
=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），
当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．
22 已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围．
解析：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，
即(2k＋1)x＝0，∴k＝－.
(2)依题意令log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－a)，
即，
令t＝2x，则(1－a)t2＋at＋1＝0，只需其有一正根即可满足题意．
①当a＝1，t＝－1时，不合题意．
②上式有一正一负根t1，t2，即，
经验证满足a·2x－a>0，∴a>1.
③上式有两根相等，即Δ＝0⇒a＝±2－2，
此时t＝，
若a＝2(－1)，则有t＝0，且a·2x－a＝a(t－1)＝a＝>0，因此a＝－2(＋1)．
综上所述，a>1或a＝－2－2.
微信/支付宝扫码支付