桂林市、北海市、崇左市2016年3月联合调研考试
数学文科试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数则（ ）
A． B．2 C． D．1
5．下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
8．已知如图所示的程序框图，那么输出的（ ）
A．45 B．35 C．21 D．15
9．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
10．已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值为（ ）
A． B．13 C．6 D．
11．设点是双曲线与圆在第一象限的交点，分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，当（为自然常数），函数的最小值为3，则的值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考试根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若函数为奇函数，则______．
14．已知实数满足不等式组则的最小值为______．
15．若圆以抛物线的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是______．
16．已知四棱锥的顶点都在球上，底面是矩形，平面平面，为正三角形，，则球的表面为______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在中，内角、、对应的边长分别为、、，已知．
（1）求角；
（2）求的最大值．
18．（本小题满分12分）
某市教育部门规定，高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段，，，，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（1）求抽取的20位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；
（2）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生参加社区服务时间在同一时间段内的概率．
19．（本小题满分12分）
在如图所示的多面体中，平面，平面，，，．
（1）在线段上取一点，作平面，（只需指出的位置，不需证明）；
（2）对（1）中，求三棱锥的体积．
20．（本小题满分12分）
如图，已知为原点，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的右侧），且；椭圆过点，且焦距等于．
（1）求圆和椭圆的方程；
（2）若过点斜率不为零的直线与椭圆交于、两点，求证：直线与直线的倾角互补．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
（2）当且时，不等式在上恒成立，求的最大值．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形是的内接四边形，延长和相交于点，，．
（1）求的值；
（2）若为的直径，且，求的长．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）．
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，不等式的解集为．
（1）求；
（2）当时，证明：．
桂林市、北海市、崇左市2016年3月联合调研考试
数学文科试卷参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
A
A
C
D
D
D
B
D
A
B
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）∵，由余弦定理得
∵，∴． ………………6分
（2） ………………7分
； ………………9分
∵，∴，． ………………11分
∴的最大值为． ………………12分
18．解：（1）由题意可知，
参加社区服务在时间段的学生人数为（人）； ………………
1分
参加社区服务在时间段的学生人数为（人）． ………………2分
所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为人． ……………4分
（2）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件，由（1）可知，
参加社区服务在时间段的学生有6人，记为；
参加社区服务在时间段的学生有2人，记为， ……………6分
从这8人中任意选取2人有，，，，，共28种情况． ……………8分
其中事件包括共16种情况．……l0分
∴所选学生的服务时间在同一时间段内的概率． ………………12分
19．解：（1）取的中点， ………………2分
连接，平面（如图）． ………………4分
（注：①作交于，作交于连，亦可满分．②按①作法，保留作图痕迹未作说明也得满分．）
（2）∵，∴．
∴， ………………5分
∵平面，∴． ………………6分
∵，∴平面． ………………7分
∵平面，平面，∴． ………………8分
∵平面，平面，
∴平面． ………………9分
∴到平面的距离为． ………………10分
又， ………………11分
∴． ………………12分
20．解：（1）设圆的半径为，由题意，圆心为，
∵，∴，． ………………1分
故圆的方程为
． ………………2分
令，解得或，所以． ………………3分
由得． ………………4分
∴椭圆的方程为． ………………5分
（2）设直线的方程为，由得
① ………………6分
设，则． ………………7分
∵ ………………8分
． ………………9分
所以． ………………10分
当或时，，此时方程①，，不合题意。 ………………11分
∴直线与直线的倾斜角互补． ………………12分
21．解：（1）， ………………1分
即由题意知在上恒成立． ………………2分
即在上恒成立，即在上恒成立， ………………3分
而，所以． ………………4分
（2）．即对任意恒成立． ………………5分
令，则． ………………6分
令，
则在上单调递增． ………………7分
∵，∴存在使．
即当时，．即． ………………8分
时，即．
∴在上单调递减，在上单调递增． ………………9分
令，即；
； ………………11分
∴且，即． ………………12分
22．解：（1）∵
∴，，得与相似． ………………1分
设，，则有，． ………………2分
． ………………3分
∴． ………………5分
（2）由题意知，，，∴． ………………7分
∴． ………………8分
∴在中，，∴． ………………10分
23．解：（1）曲线的极坐标化为． ………………2分
又，，， ………………3分
所以曲线的直角坐标方程为． ………………5分
（2）将代入圆的方程得，
化简得． ………………6分
设两点对应的参数分别为、，则， ………………7分
∴． ………………8分
∴，，或
． ………………10分
24．解：（1）①当时，解得； ………………1分
②当时，解得； ………………2分
③当时，解得． ………………3分
综上，不等式的解集． ………………5分
（2）要证明原不等式成立，则需证明：． ………………6分
只需证明，即需证明． ………………8分
∵，∴，．∴，． ………………9分
∴．∴原不等式成立． ………………10分
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