2015年安徽省合肥168中学高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．若复数z=（其中i是虚数单位），则|z|=（ ）
A．2 B． C．1 D．1
3．如果随机变量ξ∽N（1，δ2），且P（1≤ξ≤3）=0.4，则P（ξ≤﹣1）=（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
4．“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是（ ）
A．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y全不为0
B．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y不全为0
C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2+y2=0
D．若x，y∈R且xy≠0，则x2+y2≠0
5．已知向量=（2，1）和=（x﹣1，y）垂直，则|+|的最小值为（ ）
A． B．5 C．2 D．
6．设Sn为等差数列{an}（n∈N+）的前n项和，且S2=S6，a4=1，则a5=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（ ）
A．i＜5 B．i＜6 C．i＜7 D．i＜8
8．设n=（4sinx+cosx）dx，则二项式（x﹣）n的展开式中x的系数为（ ）
A．4 B．10 C．5 D．6
9．点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（ ）
A．（1，8] B． C． D．（2，3]
10．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=2，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别表示三棱锥M﹣PAB，M﹣PBC，M﹣PAC的体积，若f（M）=（1，x，4y），且+≥8恒成立，则正实数a的最小值是（ ）
A．2﹣ B． C． D．6﹣4
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上
11．已知实数x，y满足约束条件（k为常数），若目标函数z=2x+y的最大值是，则实数k的值是 ．
12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
13．已知双曲线的右焦点为F，若以F为圆心的圆x2+y2﹣6x+5=0与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ．
14．已知角φ的终边经过点P（1，﹣1），点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象上的任意两点，若|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值为，则的值是 ．
15．已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：
①f（2）=0；
②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；
④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．
上述命题中所有正确命题的序号为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．在△ABC中，已知（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=3sinBsinC．
（1）求角A的值；
（2）求的最大值．
17．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=BB1=2，若二面角A﹣B1B﹣C为30°，
（Ⅰ）证明：面AA1C1C⊥平面BB1C1C及求AB1与平面AA1C1C所成角的正切值；
（Ⅱ）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P﹣BB1C为正三棱锥，并求此时的值．
18．在某次三星杯围棋决赛中，小将A以2：0战胜上届冠军B，引起B所在国围棋界一片哗然！已知三星杯决赛采用的是三局两胜制，若选手A在一次对决中战胜选手B的概率为．
（Ⅰ）求选手A战胜选手B的概率；
（Ⅱ）若赛制改为七局四胜制，即选手A战胜选手B所需局数为X，求X的期望．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．
20．已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）单调增区间；
（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．
21．设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{an}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．
（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；
（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；
（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{an}满足条件，试求Sn的最大值．
2015年安徽省合肥168中学高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】元素与集合关系的判断．
【专题】集合．
【分析】本题的关键是根据A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，写出集合B，并且找到集合B的元素个数
【解答】解：∵A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，
∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}
则B中所含元素的个数为：3
故选：B
【点评】本题主要考查集合的元素，属于基础题．
2．若复数z=（其中i是虚数单位），则|z|=（ ）
A．2 B． C．1 D．1
【考点】复数求模．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】利用复数模的运算性质“积的模”等于“模的积”即可求得答案．
【解答】解：∵z=，
∴|z|===，
故选：B．
【点评】本题考查复数求模运算，利用复数“积的模”等于“模的积”是迅速解题的关键，属于基础题．
3．如果随机变量ξ∽N（1，δ2），且P（1≤ξ≤3）=0.4，则P（ξ≤﹣1）=（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（ξ≤﹣1）．
【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（1，δ2）
∴正态曲线的对称轴是x=1
∴P（1≤ξ≤3）=0.4，
∴P（ξ≤﹣1）=P（ξ≥3）=0.5﹣0.4=0.1，
故选：A．
【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．
4．“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是（ ）
A．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y全不为0
B．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y不全为0
C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2+y2=0
D．若x，y∈R且xy≠0，则x2+y2≠0
【考点】四种命题．
【专题】计算题．
【分析】否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的题设，得到否命题的题设，再否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的结论，得到否命题的结论．由此能够得到命题“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题．
【解答】解：先否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的题设，
得到否命题的题设“若x，y∈R且x2+y2≠0”，
再否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的结论，
得到否命题的结论“则x，y不全为0”．
由此得到命题“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是：
若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y不全为0．
故选B．
【点评】本题考查四种命题的互换，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意全为0和否定形式是不全为0．
5．已知向量=（2，1）和=（x﹣1，y）垂直，则|+|的最小值为（ ）
A． B．5 C．2 D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】首先求出+的坐标然后利用坐标表示出它的模的平方，进一步用二次函数配方求最小值．
【解答】解：向量=（2，1）和=（x﹣1，y）垂直，则+=（x+1，y+1），
又向量和垂直， •=2（x﹣1）+y=0，即y=﹣2x+2；
所以|+|2=（x+1）2+（y+1）2=5x2﹣10x+10=5（x﹣1）2+5，
所以x=1时，|+|的最小值为；
故选A．
【点评】本题考查了向量的坐标运算、垂直的性质以及利用二次函数求最值．
6．设Sn为等差数列{an}（n∈N+）的前n项和，且S2=S6，a4=1，则a5=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．
【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S2=S6，a4=1，
得，解得．
∴a5=7+4×（﹣2）=﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．
7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（ ）
A．i＜5 B．i＜6 C．i＜7 D．i＜8
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】根据题意，模拟程序框图的执行过程，计算输出结果即可．
【解答】解：模拟程序框图执行过程，如下；
开始，i=1，s=0，不输出，进入循环，1是奇数？是，s=0﹣12=﹣1，i=1+1=2，
不输出，进入循环，2是奇数？否，s=﹣1+22=3，i=2+1=3，不输出，进入循环，
3是奇数？是，s=3﹣32=﹣6，i=3+1=4，不输出，进入循环，
4是奇数？否s=﹣6+42=10，i=4+1=5，不输出，进入循环，
5是奇数？是，s=10﹣52=﹣15，i=5+1=6，不输出，进入循环，
6是奇数？否，s=﹣15+62=21，i=6+1=7，退出循环，输出21，
∴判断框中的条件是：i＜7？
故选C．
【点评】本题考查了程序框图的执行结果的问题，解题时应模拟程序的执行过程，是基础题．
8．设n=（4sinx+cosx）dx，则二项式（x﹣）n的展开式中x的系数为（ ）
A．4 B．10 C．5 D．6
【考点】二项式系数的性质；定积分．
【专题】二项式定理．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中x的系数．
【解答】解：n=（4sinx+cosx）dx=（﹣4cosx+sinx）=5，
则二项式（x﹣）n=（x﹣）5 的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•x5﹣2r，
令5﹣2r=1，求得r=2，∴展开式中x的系数为=10，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
9．点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（ ）
A．（1，8] B． C． D．（2，3]
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】直接利用双曲线的定义，结合三角形的中位线定理，推出a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．
【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，因为点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，
其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，
由三角形中位线定理可知：OM=PF1，PF1=PF﹣2a，PF≥a+c．
所以，1．
故选B．
【点评】本题是中档题，考查双曲线的基本性质，找出三角形的中位线与双曲线的定义的关系，得到PF≥a+c．是解题的关键．
10．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=2，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别表示三棱锥M﹣PAB，M﹣PBC，M﹣PAC的体积，若f（M）=（1，x，4y），且+≥8恒成立，则正实数a的最小值是（ ）
A．2﹣ B． C． D．6﹣4
【考点】与二面角有关的立体几何综合题．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出的最小值，建立关于a的不等关系，解之即可．
【解答】解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=2．
∴V P﹣ABC=×3×2×2=2=1+x+4y，
即x+4y=1，
∵+≥8恒成立，
∴+=（+）（x+4y）
=1+
≥1+4a+4≥8，
解得a≥
∴正实数a的最小值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了基本不等式的运用，是题意新颖的一道题目，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上
11．已知实数x，y满足约束条件（k为常数），若目标函数z=2x+y的最大值是，则实数k的值是 ﹣3 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】我们可以画出满足条件 （k为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值．
【解答】解：画出x，y满足的（k为常数）可行域如图：
由于目标函数z=2x+y的最大值是，
可得直线y=2x+1与直线2x+y=的交点A（，），
使目标函数z=2x+y取得最大值，
将x=，y=，代入x+y+k=0得：
k=﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．
12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】几何体是三棱锥，结合直观图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．
【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，如图：
其中SA⊥平面ABC，SA=2，BC=4，AD⊥BC，AD=2，
∴几何体的体积V=×××2×2=．
故答案为：．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量是解题的关键．
13．已知双曲线的右焦点为F，若以F为圆心的圆x2+y2﹣6x+5=0与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ．
【考点】双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】通过配方先求出圆心和半径，圆x2+y2﹣6x+5=0与此双曲线的渐近线相切，利用点到直线的距离公式即可得到d=r，解出即可．
【解答】解：圆x2+y2﹣6x+5=0化为（x﹣3）2+y2=4，∴圆心F（3，0），半径r=2．
∵以F为圆心的圆x2+y2﹣6x+5=0与此双曲线的渐近线相切，
∴，4a2=5b2，即．
∴该双曲线的离心率e===．
故答案为．
【点评】熟练掌握配方法、圆的标准方程、双曲线的渐近线方程、圆与直线相切的性质、点到直线的距离公式是解题的关键．
14．已知角φ的终边经过点P（1，﹣1），点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象上的任意两点，若|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值为，则的值是 ﹣ ．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；任意角的三角函数的定义．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由任意角的三角函数的定义求得tanφ=﹣1，故可以取φ=﹣．再根据函数的图象的相邻的2条对称轴间的距离
等于，故函数的周期为，由此求得ω 的值，从而求得函数的解析式，即可求得的值．
【解答】解：∵角φ的终边经过点P（1，﹣1），∴角φ的终边在第四象限，且tanφ=﹣1，故可以取φ=﹣．
点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象上的任意两点，
若|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值为，
则函数的图象的相邻的2条对称轴间的距离等于，故函数的周期为，故=，解得ω=3．
故函数的解析式为 f（x）=sin（3x﹣），∴=sin（）=sin=﹣sin=﹣，
故答案为﹣．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．
15．已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：
①f（2）=0；
②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；
④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．
上述命题中所有正确命题的序号为 ①②④ ．
【考点】命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f（2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
可得f（﹣2）=f（2），
在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得
f（2）=f（﹣2）+f（2），
∴f（﹣2）=f（2）=0，
∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示．
从图中可以得出：
②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；
④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．在△ABC中，已知（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=3sinBsinC．
（1）求角A的值；
（2）求的最大值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】（1）利用正弦定理将（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=3sinBsinC转化为边之间的关系，再由余弦定理即可求得求角A的值；
（2）利用（1）中角A=60°，可求得B=120°﹣C，利用三角函数中的恒等变换可将sinB﹣cosC转化为关于角C的关系式，从而可求得其最大值．
【解答】解：（1）∵（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=3sinBsinC，
∴（sinB+sinC）2﹣sin2A=3sinBsinC，
∴sin2B+sin2C﹣sin2A﹣sinBsinC=0，
由正弦定理===2R得：b2+c2﹣a2﹣bc=0，
又由余弦定理知，a2=b2+c2﹣2bccosA，
∴cosA=，角A=60°．
（2）∵角A=60°，在△ABC中，A+B+C=180°，
∴B=120°﹣C，
∴sinB﹣cosC
=sin（120°﹣C）﹣cosC
=（cosC﹣（﹣）sinC）﹣cosC
=cosC+sinC
=sin（C+），
∵C∈（0°，120°），
∴=1，即sinB﹣cosC得最大值为1．
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦定理与余弦定理，突出三角函数中的恒等变换及诱导公式的应用，属于中档题．
17．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=BB1=2，若二面角A﹣B1B﹣C为30°，
（Ⅰ）证明：面AA1C1C⊥平面BB1C1C及求AB1与平面AA1C1C所成角的正切值；
（Ⅱ）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P﹣BB1C为正三棱锥，并求此时的值．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的性质．
【专题】综合题．
【分析】（1）根据条件和线面垂直的判定定理得：AC⊥面BB1C1C，再由面面垂直的判断定理证明出面BB1C1C⊥面AA1C1C，再根据条件和线面垂直、面面垂直分别做出二面角A﹣BB1﹣C的平面角、AB1与面AA1C1C所成的线面角，并分别证明和计算求解；
（2）根据正三棱锥的定义和正三角形重心的性质，找到点P，再由条件求出PP1和点E到平面AA1C1C的距离，代入三棱锥的体积公式求出两个棱锥的体积比值．
【解答】解：（Ⅰ）∵面BB1C1C⊥面ABC，且面BB1C1C∩面ABC=BC，AC⊥BC，
∴AC⊥面BB1C1C，
则面BB1C1C⊥面AA1C1C
取BB1中点E，连接CE，AE，
在△CBB1中，BB1=CB=2，∠CBB1=60°
∴△CBB1是正三角形，∴CE⊥BB1，
又∵AC⊥面BB1C1C，且BB1⊂面BB1C1C，
∴BB1⊥AE，即∠CEA即为二面角A﹣BB1﹣C的平面角为30°，
∵AC⊥面BB1C1C，
∴AC⊥CE，在Rt△ECA中，CE=，
∴AC=CE•tan30°=1，取C1C中点D，连接AD，B1D，
∵△CBB1是正三角形，且BB1=CB=2，∴B1D⊥C1C，
∵AC⊥面BB1C1C，∴AC⊥面B1D，
∵C1C∩AC=C，∴B1D⊥面AA1C1C，
即∠B1DA即AB1与面AA1C1C所成的线面角，
则tan∠DAB1=，…
（Ⅱ）在CE上取点P1，使，
∵CE是△BB1C的中线，∴P1是△BB1C的重心，
在△ECA中，过P1作P1P∥CA交AE于P，
∵AC⊥面BB1C1C，P1P∥CA，
∴PP1⊥面CBB1，即P点在平面CBB1上的射影是△BCB1的中心，该点即为所求，
且，∴PP1=，
∵B1D∥CE，且B1D=CE=，
∴==2．…
【点评】本题考查了线面垂直的判定定理、面面垂直的判断定理和性质定理的综合应用，二面角、线面角的求解构成，以及三棱锥的体积公式的应用，难度很大．
18．在某次三星杯围棋决赛中，小将A以2：0战胜上届冠军B，引起B所在国围棋界一片哗然！已知三星杯决赛采用的是三局两胜制，若选手A在一次对决中战胜选手B的概率为．
（Ⅰ）求选手A战胜选手B的概率；
（Ⅱ）若赛制改为七局四胜制，即选手A战胜选手B所需局数为X，求X的期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）依题意，选手A战胜选手B分两种情况：2：0和2：1，即可求选手A战胜选手B的概率；
（Ⅱ）依题意，X可取4，5，6，7，此时选手A战胜选手B的比分为4：0，4：1，4：2，4：3，利用概率公式求出每一个可能值下的概率，再利用期望定义求解．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，选手A战胜选手B分两种情况：2：0和2：1
所以所求概率为0.42+×0.6×0.42=0.352．
（Ⅱ）依题意，X可取4，5，6，7，此时选手A战胜选手B的比分为4：0，4：1，4：2，4：3，对应的情况分别为0.44，，×0.62×0.44，×0.63×0.44，其和为11.32×0.44，
所以P（X=4）=，P（X=5）=，P（X=6）=，P（X=7）=
故X的期望为4×+5×+6×+7×=4.834．
【点评】此题考查了学生的理解题意的能力，还考查了独立事件同时发生的概率公式及离散型随机变量的定义及分布列，还考查了离散型随机变量的期望．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；椭圆的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用椭圆的标准方程及参数a，b，c之间的关系即可求出；
（2）（i）利用斜率的计算公式、三点共线的斜率性质、点在椭圆上的性质即可证明；
（ii）利用直线的点斜式及其（i）的有关结论即可证明．
【解答】解：（1）由题意得2c=2，∴c=1，又，a2=b2+1．
消去a可得，2b4﹣5b2﹣3=0，解得b2=3或（舍去），则a2=4，
∴椭圆E的方程为．
（2）（ⅰ）设P（x1，y1）（y1≠0），M（2，y0），则，，
∵A，P，M三点共线，∴，∴，
∵P（x1，y1）在椭圆上，∴，故为定值．
（ⅱ）直线BP的斜率为，直线m的斜率为，
则直线m的方程为， ====，
即．
所以直线m过定点（﹣1，0）．
【点评】熟练掌握椭圆的定义及其性质、斜率的计算公式及其直线的点斜式是解题的关键．善于利用已经证明过的结论是解题的技巧．
20．已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）单调增区间；
（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；
（2）先求原函数的导数得：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=ax+x2﹣xlna，
∴f′（x）=axlna+2x﹣lna，
∴f′（0）=0，f（0）=1
即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，
∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）由于f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna＞0
①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，
∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，
∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；
（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，
所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|
=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，
由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，
所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，
（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，
而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，
记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），
因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），
所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，
所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，
也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；
当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）
①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，
②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，
综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．
【点评】本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．
21．设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{an}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．
（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；
（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；
（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{an}满足条件，试求Sn的最大值．
【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．
【专题】综合题；等差数列与等比数列．
【分析】（1）设{an}的公差为d，利用裂项法原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，整理可得（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，从而可求得k，b的值；
（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，分当n=1时，当n≥2时，当n≥3时讨论即可判断结论是否正确；
（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，an+1=rsinθ，代入求和公式Sn=，利用三角函数的有界性即可求得其最大值．
【解答】解：（1）设{an}的公差为d，则原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，
所以•=，
即（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，所以k=1，b=0．…
（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，即“若++…+=①对于任意的n（n∈N*）恒成立，则{an}为等差数列”．
当n=1时， =显然成立．…
当n≥2时，若++…+=②，
由①﹣②得， =（﹣），即nan﹣（n﹣1）an+1=a1③．
当n=2时，a1+a3=2a2，即a1、a2、a3成等差数列，
当n≥3时，（n﹣1）an﹣1﹣（n﹣2）an=a1④，即2an=an﹣1+an+1．所以{an}为等差数列，即p是q的必要条件．…
（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，an+1=rsinθ，所以r≤．
设{an}的公差为d，则an+1﹣a1=nd=rsinθ﹣rcosθ，
所以d=，
所以an=rsinθ﹣，
Sn==r≤•=，
所以Sn的最大值为…
【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查“充分、必要条件”在数列中的综合应用，判断（2）中“p是否为q的必要条件”是难点，考查参数方程及三角函数的有界性，属于难题．
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