衡阳八中2016年上期高二年级第一次月考综合检测
理科数学（试题卷）
注意事项：
1.本卷共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
一．选择题（共12小题，每题5分。共60分）
1．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．（） C．（，1） D．（，1）
2．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，若2＜a＜4则（ ）
A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a） B．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）
C．f（3）＜f（log2a）＜f（2a） D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）
3．下列4个不等式：（1）故dx＜； （2）sinxdx＜cosxdx；
（3）e﹣xdx＜edx； （4）sinxdx＜xdx．能够成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=π所围成的阴影部分的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
5．若a＞b＞c，则使恒成立的最大的正整数k为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．证明命题：“f（x）=ex+在（0，+∞）上是增函数”，现给出的证法如下：
因为f（x）=ex+，所以f′（x）=ex﹣，
因为x＞0，所以ex＞1，0＜＜1，
所以ex﹣＞0，即f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，使用的证明方法是（ ）
A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．以上都不是
7．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
8．复数z=的虚部为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i
9．如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数的值是（ ）
A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i
10．设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k=（ ）
A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．4
11．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，则抛物线的方程为（ ）
A．y2=4x B．y2=8x C．y2=16x D．
二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值是 ．
14．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是 ．
15．已知点（2，5）和（8，3）是函数y=﹣k|x﹣a|+b与y=k|x﹣c|+d的图象仅有的两个交点，那么a+b+c+d的值为 ．
16．已知z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a= ．
三．解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）已知点P（a，﹣1）（a∈R），过点P作抛物线C：y=x2的切线，切点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）（其中x1＜x2）．
（Ⅰ）求x1与x2的值（用a表示）；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线AB相切，求圆E面积的最小值．
18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．
（Ⅰ）当E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？
19．（12分）已知命题p：实数m满足m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．
20．（12分）如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左、右顶
点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．
（1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在“8”字形曲线上求点P，使得
∠F1PF2是直角．
21．（12分）已知函数f（x）=﹣alnx++x（a≠0）
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）））处的切线与直线x﹣2y=0垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a∈（﹣∞，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤﹣e﹣4．
22．（12分）设复数z=a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且|z|=．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m∈R）对应的点在第四象限，求实数m取值范围．
衡阳八中2016年上期高二年级第一次月考理数参考答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
D
C
A
D
B
A
D
A
A
非选择题
13. 14.6π 15.18 16.1
17.（Ⅰ）由y=x2可得，y′=2x．
∵直线PA与曲线C相切，且过点P（a，﹣1），
∴，即x12﹣2ax1﹣1=0，
∴，或，
同理可得：，或．
∵x1＜x2，∴，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，x1+x2=2a，x1•x2=﹣1，
则直线AB的斜率，
∴直线AB的方程为：y﹣y1=（x1+x2）（x﹣x1），又y1=x12，
∴y﹣x12=（x1+x2）x﹣x12﹣x1x2，即2ax﹣y+1=0．
∵点P到直线AB的距离即为圆E的半径，即，
∴
=，
当且仅当，
即，时取等号．
故圆E面积的最小值S=πr2=3π．
18.（Ⅰ）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，
∴EF∥PC．
又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（0，1，0），D（，0，0），
设BE=x（0≤x≤），则E（x，1，0），
设平面PDE的法向量为=（p，q，1），
由，得，
令p=1，则=（1，﹣x，）．
而=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45°，
所以sin45°===，
解得BE=x=或BE=x=＞（舍）．
故BE=时，PA与平面PDE所成角为45°．
19.由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a
即命题p：3a＜m＜4a
由表示焦点在y轴上椭圆可得：2﹣m＞m﹣1＞0，∴
即命题
由非q为非p充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件
从而有：
∴
20.（1）上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，则圆心为（0，2），半径为2．
则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2．
双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a=2，
由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得，x=．
即有交点为（，2）．
设双曲线的方程为=1（a＞0，b＞0），
则=1，且a=2，解得，b=2．
则双曲线的方程为=1；
（2）双曲线的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），
若∠F1PF2是直角，则设P（x，y），则有x2+y2=8，
由解得，x2=6，y2=2．
由解得，y=±1，不满足题意，舍去．
故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为（），（﹣），
（﹣，﹣），（，﹣）．
21.（I）由已知可知f（x）的定义域为{x|x＞0}
（x＞0）
根据题意可得，f′（1）=2×（﹣1）=﹣2
∴﹣a﹣2a2+1=﹣2
∴a=1或a=﹣
（II）∵=
①a＞0时，由f′（x）＞0可得x＞2a
由f′（x）＜0可得0＜x＜2a
∴f（x）在（2a，+∞）上单调递增，在（0，2a）上单调递减
②当a＜0时，
由f′（x）＞0可得x＞﹣a
由f′（x）＜0可得0＜x＜﹣a
∴f（x）在（﹣a，+∞）上单调递增，在（0，﹣a）上单调递减
（III）由（II）可知，当a∈（﹣∞，0）时，函数f（x）的最小值f（﹣a）
故g（a）=f（﹣a）=﹣aln（﹣a）﹣3a
则g′（a）=﹣ln（﹣a）﹣4
令g′（a）=0可得﹣ln（﹣a）﹣4=0
∴a=﹣e﹣4
当a变化时，g’（a），g（a）的变化情况如下表
∴a=﹣e﹣4是g（a）在（﹣∞，0）上的唯一的极大值，从而是g（a）的最大值点
当a＜0时，=﹣e﹣4
∴a＜0时，g（a）≤﹣e﹣4．
22.（Ⅰ）∵z=a+i，|z|=，
∴|z|==，
即a2=9，解得a=±3，
又∵a＞0，
∴a=3，
∴z=3+i．
（Ⅱ）∵z=3+i，则=3+i，…
∴+=3+i+=+i，
又∵复数+（m∈R）对应的点在第四象限，
∴ 得
∴﹣5＜m＜1．
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