衡阳八中2016年上期高二年级第一次月考综合检测
文科数学（试题卷）
注意事项：
1.本卷共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
一．选择题（共12小题，每题5分，满分60分）
1．过点（1，﹣2）的抛物线的标准方程是（ ）
A．y2=4x或x2=y B．y2=4x
C．y2=4x或x2=﹣y D．x2=﹣y
2．n个连续自然数按规律排成下表，根据规律，2011到2013，箭头的方向依次为（ ）
A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓
3．设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合A={1，2}，B={1，m，3}，如果A∩B=A，那么实数m等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．4
5．若直线x+y=a+1被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的弦长为2，则a=（ ）
A．1或5 B．﹣1或5 C．1或﹣5 D．﹣1或﹣5
6．在如下程序框图中，已知f0（x）=sinx，则输出的结果是（ ）
A．sinx B．cosx C．﹣sinx D．﹣cosx
7．已知角ϕ的终边经过点P（﹣4，3），函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（ ）
A． B． C．2 D．﹣
10．如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（ ）
A． B． C．ab＞b2 D．a2＞ab
11．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为（0，1），（，0），（0，﹣2），O为坐标原点，动点P满足||=1，则|++|的最小值是（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1
12．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（ ）
A．+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣﹣i
二．填空题（共4小题，每题5分，满分20分）
13．在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于 ．
14．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：
月平均气温x（℃）
17
13
8
2
月销售量y（件）
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程中的b≈﹣2．气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量的件数约为 ．
15．如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ= ．
16．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值是 ．
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知i是虚数单位，复数z满足（z﹣2）i=﹣3﹣i．
（1）求z；
（2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数x的取值范围．
18．（12分）如图AB是抛物线C：x2=4y过焦点F的弦（点A在第二象限），过点A的直线交抛物线于点E，交y轴于点D（D在F上方），且|AF|=|DF|，过点B作抛物线C的切线l
（1）求证：AE∥l；
（2）当以AE为直径的圆过点B时，求AB的直线方程．
19．（12分）如图．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=CD，M是的CD的中点．N是AC与BM的交点，将△BCM沿BM向上翻折成△BPM，使平面BPM⊥平面ABMD
（I）求证：AB⊥PN．
（Ⅱ）若E为PA的中点．求证：EN∥平面PDM．
20．（12分）已知椭圆的左顶点为A1，右焦点为F2，过点F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点，直线A1M的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若△A1MN的外接圆在M处的切线与椭圆相交所得弦长为，求椭圆方程．
21．（12分）已知点（x，y）是区域，（n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作zn．若数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且点（Sn，an）在直线zn=x+y上．
（Ⅰ）证明：数列{an﹣2}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{Sn}的前n项和Tn．
22．（12分）己知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．
（1）若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，求t的值；
（2）当0＜a＜1且t=﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；
（3）若函数F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1在区间（﹣1，2]上有零点，求t的取值范围．
衡阳八中2016年上期高二年级第一次月考文数参考答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
C
A
A
D
C
A
B
A
C
非选择题
13.4 14.46 15. 1.5 16.
17.解：（1）由（z﹣2）i=﹣3﹣i，得zi=﹣3+i，…（2分）
所以z==1+3i．…（4分）
（2）因为z=1+3i．
所以==[（x+3）+（1﹣3x）i]，…（6分）
因为对应的点在第一象限，
所以解得﹣3＜x＜．
所以，实数x的取值范围是（﹣3，）．…（10分）
18.（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（0，y1+2）
∴kAE=﹣，
∵x2=4y，∴y′=x，
∴kl=x2，
设直线AB的方程为y=kx+1，代入x2=4y，可得x2﹣4kx﹣4=0，
∴x1x2=﹣4，
∴kAE=kl，
∴AE∥l；
（2）解：直线AE的方程为y﹣y1=﹣（x﹣x1），
与x2=4y联立，可得x2+x﹣4y1﹣8=0，
∴x1+xE=﹣，∴xE=﹣﹣x1，∴E（﹣﹣x1，++4），
∵以AE为直径的圆过点B，
∴kAB•kBE=﹣1，
∴•=﹣1，
∴（x2+x1）（3x2﹣x1）=﹣16，
∵x1x2=﹣4，x2+x1=4k，
∴x2=k﹣，x1=3k+，
∴（k﹣）（3k+）=﹣4，
∴k=±，
∴直线AB的方程为y=±x+1．
19.证明：（1）连结AM，
∵M是的CD的中点，AB=CD，AB∥CD，
∴四边形ABCM是平行四边形，四边形ABMD是平行四边形，
∴N是BM的中点，BM=AD，又∵AD=BC，
∴△BCM是等边三角形，即△PBM是等边三角形．
∴PN⊥BM，∵平面PBM⊥平面ABMD，平面PBM∩平面ABMD=BM，PN⊂平面PBM，
∴PN⊥平面ABMD，∵AB⊂平面ABMD，
∴AB⊥PN．
（2）连结PC，∵E是PA的中点，N是AC的中点，
∴EN∥PC，
∵PC⊂平面PDM，EN⊄平面PDM，
∴EN∥平面PDM．
20.（Ⅰ）由题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
因为A1（﹣a，0），所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
将b2=a2﹣c2代入上式并整理得（或a=2c）
所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，（或）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
所以A1（﹣2c，0），外接圆圆心设为P（x0，0）
由|PA1|=|PM|，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
解得：
所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
所以△A1MN外接圆在M处切线斜率为，设该切线与椭圆另一交点为C
则切线MC方程为，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
与椭圆方程3x2+4y2=12c2联立得7x2﹣18cx+11c2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
由弦长公式得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
解得c=1
所以椭圆方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
21.解：（Ⅰ）∵目标函数对应直线l：z=x+y，
区域，（n∈N*）表示以x轴、y轴和直线x+2y=2n为三边的三角形，
∴当x=2n，y=0时，z的最大值zn=2n
∵（Sn，an）在直线zn=x+y上
∴zn=Sn+an，可得Sn=2n﹣an，
当n≥2时，可得an=Sn﹣Sn﹣1=（2n﹣an）﹣[2（n﹣1）﹣an﹣1]
化简整理，得2an=an﹣1+2
因此，an﹣2=（an﹣1+2）﹣2=（an﹣1﹣2）
当n=1时，an﹣2=a1﹣2=﹣1
∴数列{an﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；
（Ⅱ）由（I）得an﹣2=﹣（）n﹣1，
∴an=2﹣（）n﹣1，可得Sn=2n﹣an=2n﹣2+（）n﹣1，
∴根据等差数列和等比数列的求和公式，得
即数列{Sn}的前n项和Tn=，（n∈N*）．
22.（1）∵1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，
∴loga2﹣2loga（2+t）=0，
∴2=（2+t）2，
∴t=﹣2；
（2）当0＜a＜1且t=﹣1时，
不等式f（x）≤g（x）可化为
loga（x+1）≤2loga（2x﹣1），
故，
解得，＜x≤；
（3）F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1
=x+1+tx2﹣2t+1=tx2+x﹣2t+2，
令tx2+x﹣2t+2=0，
即t（x2﹣2）=﹣（x+2），
∵x∈（﹣1，2]，∴x+2∈（1，4]，
∴t≠0，x2﹣2≠0；
∴=﹣=﹣[（x+2）+]+4，
∵2≤（x+2）+≤，
∴﹣≤﹣[（x+2）+]+4≤4﹣2，
∴﹣≤≤4﹣2，
∴t≤﹣2或t≥．
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