2016届高三教学质量调研考试
理科数学
一、选择题：
1.已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
【解析】考查复数的相关知识。，实部、虚部均小于0，所以在复平面内对应的点位于第三象限。
2. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】考查集合的运算。，，考查交集的定义，画出数轴可以看出。
3. 某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400,320,280.采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是（ ）
A.20 B.16 C.15 D.14
【答案】D
【解析】考查分层抽样。高三年级的人数是（人）。
4. 已知命题：，使；命题：，则下列判断正确的是（ ）
A. 为真 B.为假 C.为真 D.为假
【答案】B
【解析】考查命题的真假判断。由于三角函数的有界性，，所以假；对于，构造函数，求导得，又，所以，为单调递增函数，有恒成立，即，所以真。判断可知，B正确。
5. 已知满足约束条件则的最小值是（ ）
A. -7 B.-3 C.1 D.4
【答案】A
【解析】方法一：画出可行域，找截距的最小值，数形结合求解；
方法二：找出三条直线的交点，分别带入目标函数，得到最小值-7，答案选A。（这种做法仅适用于线性约束条件，线性目标函数）
6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A B 40 C D
【答案】C
【解析】 由三视图知，直观图如图所示：底面是直角三角形，直角边长为4，5，三棱锥的一个后侧面垂直底面，并且高为4，所以棱锥的体积为：．
7.函数的部分图像如图所示，则的值为
A B C D
【答案】A
【解析】由题意可知T=, ，，代入求值即可得到 =
8.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术。利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率。如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（参考数据：=1.732，）
A 12 B 24 C 36 D48
【答案】B
【解析】n=6，s=2.598
n=12，s=3
n=24，s=3.1056结束循环
输出n=24
9.在平面直角坐标系中，已知点A，B分别为x轴y轴上一点，且,若P(1，),则的取值范围是
A B C D
【答案】D
【解析】设A(，0)，B(0,)，则=(3-,3-),
=(3-)+(3-)=37-6(+)
=37-12即可求范围
10.设函数是（）的导函数，，且，则的解集是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据，，导函数于原函数之间没有用变量x联系，可知函数与有关，可构造函数为，，即，，解得，故选D
二、填空题：
11.二项式展开式中的常数项为 .
【答案】20
【解析】中的通项为，若为常数项，则，.
12.已知向量，⊥，则向量的夹角为 .
【答案】
【解析】因为⊥，故即，则故夹角为.
13.已知等比数列为递增数列，其前项和为，则公比
.
【答案】2
【解析】，把带入得，因为等比数列为递增数列，故.
14.过点的直线与双曲线的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线的右支上的点到直线的距离恒大于，则双曲线的离心率的最大值是 .
【答案】3
【解析】双曲线的一条斜率为正值的渐近线为，则过的直线为，因为双曲线的右支上的点到直线的距离恒大于，所以只要满足即可，又因为，代入整理得，所以双曲线的离心率.故双曲线的离心率的最大值是.
15.已知函数，若方程
有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 。
【答案】
【解析】图象如图所示。
的实根即是可以看做是两个函数在图像上的交点个数。
g（x）的图像是恒过点（0,1）的直线，临界值是图中经过B，D两点的割线和过C的切线。计算出斜率值即可。
三、解答题：
16.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（I）求角C的值；
（II）若，且△ABC的面积为，求a,b.
【答案】（I）（II）
【解析】（I），故
，
则，
展开得：，即，
（II）三角形面积为，故
由余弦定理：，
故
17. 如图在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,∠ABC=90°，,,E是线段PC的中点.
（I）求证：DE//面PAB；
(II)求二面角D-CP-B的余弦值.
【答案】见解析
【解析】（I）证明：设线段AC的中点为O，连接OD,OE.
因为∠ABC=90°，，同理，
又,故四边形ABOD是平行四边形，所以DO//AB，
O,E分别是PC,AC的中点，所以OE//PA，
OD与OE相交，AP和AB相交，OE在面ODE中，PA,AB在面PAB中，
面ODE//面PAB，而ED在面ODE中，故DE//面PAB.
(II).因为AB⊥BC,PA⊥面ABCD,以B为原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，过点B做平行于的直线做z轴正方向建立空间直角坐标系.
则
设面PBC的法向量为
则
，
设面DPC的法向量为
则
，
，
二面角D-CP-B的余弦值为.
18.2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个学豆、10个学豆、20个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一贯没有闯关成功，则全部学都归零，游戏结束。设选手甲第一关、第二关、第三关的概率分别为，，，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功互不影响
（I）求选手甲第一关闯关成功且所的学豆为零的概率
(II)设该学生所的学豆总数为X,求X的分布列与数学期望
【答案】（I）3/16;(II)的分布列为：
【解析】（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件，则，互斥，
， …………2分
， ………… 4分
………… 5分
（Ⅱ）所有可能的取值为0,5,15,35 …………6分
………… 10分
所以，的分布列为：
………… 11分
………… 12分
19 已知数列是公差不为零的等差数列，且=5，，，成等比数列。数列的每一项均为正实数，其前n项和为，且满足
（I）数列，的通项公式
（II）令，记数列的前n项和为,若对任意恒成立，求正整数m的最大值。
【答案】（I） .
（II）正整数的最大值为6.
【解析】（I）设数列的首项为，公差为，由已知可得：，且
解得：或（舍）
………… 2分
当时， ， ………… 3分
当时，
①
②
②-①得， …………4分
，
是首项为3，公差为2的等差数列.
故. ………… 6分
（II） ………… 7分
………… 9分
，
令，则当时，
为递增数列，， ………… 10分
又对恒成立，故，
解得， ………… 11分
所以正整数的最大值为6. ………… 12分
20. 已知函数，.
（I）当时，求函数的最大值；
（II）若，且对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（I）0；（II）
【解析】（I）函数的定义域为：，
当时，，
，函数在上单调递增，
，函数在上单调递减，
.
（II）令，因为“对任意的恒成立”等价于“当时，对任意的成立”，
由于，
当时，有，从而函数在上单调递增，
所以.
，
当时，，时，，显然不满足，
当时，令得，，
（i）当，即时，在上，所以在单调递增，所以，只需使，得，所以.
(ii)当，即时，在单调递增，在单调递减，所以，只需使，得，所以.
(iii)当，即时，显然在上单调递增，不成立，
综上所述，的取值范围是.
21. 设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为，若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.
（Ⅰ）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；
（Ⅱ）过“相关圆”上任意一点作“相关圆”的切线与椭圆交于两点，为坐标原点.
(i)证明:为定值；
(ii)连接并延长交“相关圆”于点，求面积的取值范围.
【答案】（Ⅰ）椭圆的方程为，“相关圆”的方程为
（Ⅱ）（i） 为定值 （ii）
【解析】（Ⅰ）因为若抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，所以 ………1分
又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以
故椭圆的方程为， ……………3分
“相关圆”的方程为 ……………4分
（Ⅱ）（i）当直线的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为，
则所以 ……………5分
当直线的斜率存在时，设其方程设为，设
联立方程组得,即, …………6分
△=,即
……………7分
因为直线与相关圆相切，所以 ……………
8分
为定值 ……………9分
（ii）由于是“相关圆”的直径，所以，所以要求面积的取值范围，只需求弦长的取值范围
当直线AB的斜率不存在时，由（i）知 ……………10分
因为 ……………11分
,
① 时为所以,
所以,所以
当且仅当时取”=” ……………12分
②当时,．|AB |的取值范围为 ……………13分
面积的取值范围是
……………14分
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