2016届漳州八校第三次联考高三数学（理）试卷
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选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1、已知i是虚数单位，复数z满足=i，则z的模是（ ）
A． 1 B． C． D．
2、 集合，，则
A、 B、 C、 D、
3、已知命题：有的三角形是等边三角形，则( )[来源:学科网ZXXK]
A.：有的三角形不是等边三角形 B.：有的三角形是不等边三角形
C.：所有的三角形都是等边三角形 D.：所有的三角形都不是等边三角形
4、一个边长为3 cm的正方形薄木板的正中央挖去一个直径为2 cm的圆孔，一质点在木板的面内随机地移动，则该质点恰在离四个顶点的距离都大于2 cm的区域的概率为( )
A. B. C. D.
5、执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）
A 16 B 25 C 36 D 49
6、设分别是双曲线的左.右焦点，若双曲线上存在点，使，且,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7、 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）
A.1升 B.升 C.升 D.升
8、设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（ ）
A f（x）在单调递减 B f（x）在（，）单调递减
正视图
侧视图
俯视图
C f（x）在（0，）单调递增 D f（x）在（，）单调递增
9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
（A） （B）
（C）4 （D）3
10、的展开式中项的系数为（ ）
A 45 B 72 C 60 D 120
11、在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且c>b>a，若向量＝（a－b，1）和＝（b－c，1）平行，且sin B＝，当△ABC的面积为时，则b＝（ ）
A． B．4 C． 2 D．2＋
12、已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当时，若则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
一、 填空题：本大题共4小题，每小题5分
13、化简的值为___________
14、设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为 .
15、已知球的一个内接三棱锥，其中是边长为的正三角形，为球
的直径，且，则此三棱锥的体积为__________
16、已知两个正数a，b，可按规律c＝ab＋a＋b推广为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p>q>0，经过五次操作后扩充得到的数为(q＋1)m(p＋1)n－1(m，n为正整数)，则m＋n＝________．
三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、设数列的前项和为，已知
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.[来源:学科网ZXXK]
18、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；
（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．
19、一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：
学生
语文（分）
87
90
91
92
95
英语（分）
86
89
89
92
94
（1） 根据表中数据，求英语分对语文分的线性回归方程；
（2） 要从4名语文成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望
（附:线性回归方程中，其中为样本平均值，的值的结果保留二位小数.）
20、已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合
（1）求抛物线的方程
（2）已知动直线过点，交抛物线于两点，坐标原点O为中点，求证；
（3）是否存在垂直于x轴的直线m被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由。
21、已知函数．
（1）当时，判断方程在区间上有无实根；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
请考生在22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.
22、选修4－1：几何证明选讲
如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D.
(1)求证：AT2＝BT·AD；[来源:学#科#网]
(2)E、F是BC的三等分点，且DE＝DF，求∠A.
23、选修4-4：极坐标与参数方程
已知曲线，曲线
（1）写出曲线的参数方程与曲线的普通方程；
（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最大值，并求此时点的坐标．
24、选修4—5；不等式选讲．
已知函数.
(Ⅰ)当a = 3时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若对恒成立,求实数a的取值范围.
八校第三次联考高三数学（理）试卷参考答案
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
D
C
B
B
A
B
B
C
D
二、 填空题
13. 14. 15. 16. 13
三、解答题
17、【解析】（1）由可得，
而，则
（2）由及可得
.
∴
18、【解析】（I）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°．所以∠ADC=∠
BCD=120°．又CB=CD，
所以∠CDB=30°，因此，∠ADB=90°，AD⊥BD，
又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD⊂平面AED，
所以BD⊥平面AED；
（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，同理AC⊥BC，
又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为X轴，Y轴，Z轴建立如图的空间直角坐标系，
不妨设CB=1，则C（0，0，0），B（0，1，0），D（，﹣，0），F（0，0，1），因此=（，﹣，0），=（0，﹣1，1）
设平面BDF的一个法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0
所以x=y=z，取z=1，则=（，1，1），
由于=（0，0，1）是平面BDC的一个法向量，
则cos＜，＞===，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为
解法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以FC⊥BD，由于FC∩CG=C，FC，CG⊂平面FCG．
所以BD⊥平面FCG．故BD⊥FG，所以∠FGC为二面角F﹣BD﹣C的平面角，
在等腰三角形BCD中，由于∠BCD=120°，
因此CG=CB，又CB=CF，
所以GF==CG，
故cos∠FGC=，
所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为
19、【解析】(1)
∴回归直线方程为
(2)随机变量的可能取值为0,1,2.
∴
故的分布列为
0
1
2
20、【解析】（1）抛物线的焦点为，。所以抛物线的方程为
（2）设由于O为PQ中点，则Q点坐标为（-4,0）
当垂直于x轴时，由抛物线的对称性知
当不垂直于x轴时，设 由
[来源:学科网]
∴
(3) 设存在直线m：满足题意，则圆心，过M作直线x=a的垂线，垂足为E。设直线m与圆的一个交点为G，则.即
当a=3时，
此时直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值。因此存在直线m：x=3
满足题意。
21、【解析】（1）时，令，．
∴在上为增函数．
又，所以在上无实根．
（2）恒成立，即恒成立，
又，则当时，恒成立，
令，只需小于的最小值，，
∵，∴．∴当时，∴在上单调递减，∴在的最小值为．则的取值范围是．
22、【解析】（1）证明：因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，∴∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.
又∵AT 2＝AB×AD，所以AT 2＝BT×AD
（2）取BC中点M，连接DM，TM．
由（1）知TC＝TB，所以TM⊥BC．
∵DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．
∴O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．
∴∠ABT＝∠DBT＝90°. ∴∠A＝∠ATB＝45°.
23、【解析】 （1）曲线C1的参数方程：
曲线C2的普通方程：
（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线
的距离为
∴当时，d的最大值为，
此时点P的坐标为．
24、【解析】(Ⅰ)时,即求解
①当时, ②当时,
③当时, 综上,解集为
(Ⅱ)即恒成立 令
则函数图象为 ,
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