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期末复习八 图形的初步知识(二)
要求
知识与方法
了解
角及角平分线的概念
两角互余、互补的概念
相交线概念，对顶角的概念
垂线、垂线段的概念
理解
角的表示方法及角的大小比较
度、分、秒单位及其换算方法
同角或等角的余角(或补角)相等
对顶角相等
点到直线的距离的概念，直线外一点到直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短
在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，能画已知直线的垂线
运用
计算角的和差
时钟中的角度计算问题
综合利用角平分线、相交线、垂直、互余(互补)等知识求解角的度数
一、必备知识：
1．1°＝____________′，1′＝____________″.
2．同角或等角的余角____________．____________或____________的补角相等．
3．对顶角____________．
4．在同一平面内，过一点有一条而且仅有____________直线垂直于已知直线．
5．直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，____________最短．从直线外一点到这条直线的____________，叫做点到直线的距离．
二、防范点：
1．角的三种表示方法不能乱用，特别是用一个顶点字母表示要注意它的局限性．
2．”在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线．”这句话中”同一平面内”的条件不能缺失．
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3．点到直线的距离要和点到点的距离区分开，这里的关键词是”垂线段”和”长度”．
角的概念及角的度量
例1 (1)图中共有角的个数是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
(2)将图中的角用不同的方法表示出来，填入下表．
表示方式一
∠1
∠3
∠2
表示方式二
∠4
∠DCE
(3)15°3′＝________°；120.17°＝________°________′________″.
【反思】数角的结论和数线段的结论是相同的．角的表示特别注意一个顶点字母表示时有局限性，不要弄错．
对顶角、余角和补角、方位角
例2 (1)如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，则∠1的对顶角是( )
A．∠COF B．∠BOF C．∠AOF D．∠BOD
(2)已知∠A＝50°，则∠A的余角是________，∠A的补角是________，∠A的补角与余角的差是________．
(3)已知一个角的余角等于这个角的2倍，求这个角的补角的度数．
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(4)如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与OA垂直，则OB的方位角是( )
A．北偏西30° B．北偏西60° C．东偏北30° D．东偏北60°
【反思】(3)这类问题往往用方程思想解决．
角的有关计算
例3 (1)180°－46°42′＝________；28°36′＋72°24′＝________．
(2)如图，∠AOD＝86°，∠AOB＝20°，OB平分∠AOC，则∠COD的度数是( )
A．46°
B．43°
C．40°
D．33°
(3)已知OC是∠AOB内部的一条射线，∠AOC＝30°，OE是∠COB的平分线．
①如图，当∠COE＝40°时，求∠AOB的度数．
②当OE⊥OA时，请在下图中画出射线OE，OB，并直接写出∠AOB的度数．
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(4)如图，从点O引出6条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，且∠AOB＝100°，OF平分∠BOC，∠AOE＝∠DOE，∠EOF＝140°，求∠COD的度数．
【反思】与角有关的计算常用到角平分线、对顶角相等、互余和互补、垂直等知识点，解题过程中要充分运用每一个条件，解题过程中也常用到方程思想．当题目中的图形不确定时，往往要运用分类讨论的数学思想．
钟表中的角度计算
例4 (1)从4点16分到5点40分，时钟的时针转过________°；下午2点24分时，时钟的时针和分针的夹角是________°.
(2)如图，已知∠EOD＝70°，射线OC，OB是∠EOA，∠DOA的角平分线．若以OB为钟表上的时针，OC为分针，再经过多少分钟使得∠BOC第一次成90°.
【反思】时钟问题关键是搞清楚分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°.有时也常把6°和0.5°理解为分针和时针的速度，用行程问题来解决时钟问题．
1． 如图，已知点A是射线BE上一点，过点A作CA⊥BE交射线BF于点C，AD⊥BF
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交射线BF于点D，给出下列结论：①∠1是∠B的余角；②图中互余的角共有3对；③∠1的补角只有∠ACF；④与∠ADB互补的角共有3个．其中正确结论是____________．
第1题图
1． 将一张长方形纸条折成如图所示的形状，BC为折痕．若∠DBA＝70°，则∠ABC＝____________.
第2题图
3．一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90度，则这个角的度数是____________．
4．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC＝∠AOD－80°，则∠AOE的度数是____________．
第4题图
5．如图，O为直线AB上一点，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.
(1)图中相等的角是哪几对？
(2)图中互余的角是哪几对？
(3)图中互补的角是哪几对？
第5题图
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6．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOC＝∠AOB，射线OD是OB的反向延长线．
(1)射线OC的方向是________；
(2)求∠COD的度数；
(3)若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．
第6题图
7．如图，已知∠AOB内部有三条射线OE，OC，OF，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.
(1)若∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，求∠EOF的度数；
(2)若∠AOB＝α，求∠EOF的度数；
(3)若将题中”平分”的条件改为”∠EOB＝∠COB，∠COF＝∠COA”，且∠AOB＝α，直接写出∠EOF的度数．
第7题图
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参考答案
期末复习八 图形的初步知识(二)
【必备知识与防范点】
1．60 60 2.相等 同角 等角 3.相等 4.一条 5.垂线段 垂线段的长度
【例题精析】
例1 (1)D (2)表示方式一：∠B或∠ABC ∠5 表示方式二：∠BAC ∠ACB ∠ACD (3)15.05 120 10 12
例2 (1)B (2)40° 130° 90° (3)150°
(4)B
例3 (1)133°18′ 101° (2)A
(3)①110° ②画图略，150°. (4)20°
例4 (1)42 72 (2)
【校内练习】
1．①④ 【解析】图中互余的角共有4对，∠1与∠CAD，∠1与∠B，∠B与∠BAD，∠BAD与∠CAD，故②错误；∠1的补角有∠ACF和∠DAE，故③错误；①④均正确．
2．55° 【解析】∠ABC＝＝55°.
3．60°
4．155° 【解析】∵∠AOD＝180°－∠AOC(平角的定义)，∠AOC＝∠AOD－80°(已知)，∴∠AOC＝180°－∠AOC－80°.∴∠AOC＝50°，∠AOD＝130°.∴∠BOD＝∠AOC＝50°(对顶角相等)．∵OE平分∠BOD(已知)，∴∠DOE＝∠BOD＝25°(角平分线的意义)．∴∠AOE＝∠AOD＋∠DOE＝130°＋25°＝155°.
5．(1)∠1＝∠2，∠3＝∠4；
(2)∠2与∠4，∠1与∠3，∠2与∠3，∠1与∠4；
(3)∠1与∠AON，∠3与∠BOM，∠2与∠AON，∠4与∠BOM，∠AOC与∠BOC.
6．(1)北偏东70°
(2)∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，∴∠BOC＝110°，又∵射线OD是OB的反向延长线，∴∠BOD＝180°，∴∠COD＝180°－110°＝70°.
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(3)∵∠COD＝70°，OE平分∠COD，∴∠COE＝35°，∵∠AOC＝55°，∴∠AOE＝90°.
7．(1)∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝60°.
∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC＝∠BOC＝30°，∠FOC＝∠AOC＝15°，
∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝30°＋15°＝45°.
(2)∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC＝∠BOC，∠FOC＝∠AOC.
∵∠EOF＝∠EOC＋∠FOC，∴∠EOF＝∠BOC＋∠AOC＝(∠BOC＋∠AOC)
＝∠AOB＝α.
(3)∠EOF＝α.
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