北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学试卷（文史类） 2016.3
（考试时间120分钟 满分150分）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集，集合，，则
A． B． C. D．
答案：D
解析：考查补集与交集的运算。因为，所以，。
2.已知为虚数单位,则复数=
A． B． C． D．
答案：A
解析：分母实数化，即分子与分母同乘以分母的其轭复数：。
3.已知非零平面向量，“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：因为，平方：，
展开，合并同类项，得：，
所以，。
4.执行如图所示的程序框图，输出的值为
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：依次执行结果如下：
S＝2×1＋1＝3，i＝1＋1＝2，i＜4；
S＝2×3＋2＝8，i＝2＋1＝3，i＜4；
S＝2×8＋1＝19，i＝3＋1＝4，i≥4；
所以，S＝19，选B。
5.在中，角所对的边分别为，若，则
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为，由正弦定理，得：
所以，，即＝0，所以，B＝。
6.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是
A. B. C. D.
答案：B
解析：四棱锥如下图所示，
7. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是
A. 收入最高值与收入最低值的比是
B. 结余最高的月份是7月份
C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D. 前6个月的平均收入为40万元
（注：结余=收入-支出）
答案：D
解析：读图可知A、B、C均正确，对于D，前6 个月的平均收入＝45万元．
8. 若圆与曲线的没有公共点，则半径的取值范围是
A． B． C． D．
答案：C
解析：只需求圆心（0，1）到曲线上的点的最短距离，取曲线上的点，，
距离
所以，若圆与曲线无公共点，则0＜r＜．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9.已知函数则 .
答案：2
解析：因为＝1，所以，f（f（－1））＝＝2。
10.已知双曲线过抛物线的焦点，则此双曲线的渐近线方程为 .
答案：
解析：抛物线的焦点抛物线的焦点为（2,0），代入双曲线方程，
所以，，所以，，渐近线方程为：
11.已知递增的等差数列的首项，且,,成等比数列，则数列的通项公式 ；____.
答案：，
解析：，即
12.已知不等式组表示的平面区域为.若直线与区域有公共点，则实数a的取值范围是 .
答案：
解析：画出不等式表示的平面区域，如图所示，
即B（3,3），A（1,1），
13.已知圆，过圆心的直线交圆于两点，交轴于点. 若恰为的中点，则直线的方程为 .
答案：或
解析：由｜PA｜＝｜PB｜
则｜AC｜＝｜PA｜，即 A是PC的三等分点
xA＝2，代入圆方程5
即 A(2，3)或(2，7)，故直线l 的方程为：或
14.甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”， “3，4”，…，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是 .
答案：1，2，3，4
解析：1，2，3，4
甲先报1，2，3，4，然后不管乙报几个数，甲只需要每次报的数的个数与乙的个数
和为8（显然这可以做到），因为100－4＝96＝8×12 ，于是12轮过后，甲获胜．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数（）的最小正周期为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
解析：解：（Ⅰ）
.
因为的最小正周期为，则. …………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.
因为所以.
则.
当，即时，取得最大值是；
当，即时，取得最小值是.
在区间的最大值为，最小值为. …………………13分
16.(本小题满分13分）
已知数列的前项和,.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
解析：（Ⅰ）由，
当时，
当时，而，
所以数列的通项公式，. ………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
当为偶数时，
当为奇数时，为偶数，
综上， …………………………13分
17. (本小题满分13分)
某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查.调查结果如下表:
阅读名著的本数
1
2
3
4
5
男生人数
3
1
2
1
3
女生人数
1
3
3
1
2
（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数;
（Ⅱ）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；
（Ⅲ）试判断该班男生阅读名著本数的方差与女生阅读名著本数的方差的大小
（只需写出结论）．（注：方差，其中为
，…… 的平均数）
解析：（Ⅰ）女生阅读名著的平均本数本.
…………………………3分
（Ⅱ）设事件={从阅读5本名著的学生中任取2人，其中男生和女生各1人}.
男生阅读5本名著的3人分别记为，女生阅读5本名著的2人分别记为
从阅读5本名著的5名学生中任取2人，共有10个结果，分别是：
，，，，，，
，，，.
其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是：
，，，，，.
则. …………………………10分
（III）. …………………………13分
18.（本小题共14分）
如图，在三棱柱中，底面，，，
N
A
M
P
C
B
A1
C1
B1
．分别为和的中点，为侧棱上的动点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若为线段的中点，求证：平面；
（Ⅲ）试判断直线与平面是否能够垂直.
若能垂直，求的值；若不能垂直，请说明理由．
解析：（Ⅰ）由已知，为中点，且，所以．
又因为，且底面，所以底面．
因为底面，所以，
又，
所以平面．
又因为平面，
所以平面平面． ……………………5分
（Ⅱ）
取中点，连结，，，.
N
A
M
P
C
B
A1
C1
B1
D
由于，分别为，的中点，
所以,且.
则四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面，
所以平面.
由于，分别为，的中点，
所以.
又，分别为，的中点，
所以.
则.
又平面，平面，
所以平面.
由于,所以平面平面.
由于平面，
所以平面. ……………10分
（III）假设与平面垂直，
由平面，
则．
设，．
当时，，
所以∽，所以．
由已知，
所以，得．
由于，
因此直线与平面不能垂直． …………………………………………14分
19.(本小题共14分）
已知椭圆的焦点分别为.
（Ⅰ）求以线段为直径的圆的方程；
（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点.在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
解析：（I）因为，，所以.
所以以线段为直径的圆的方程为.……………………………3分
（II）若存在点，使得，
则直线和的斜率存在,分别设为,.
等价于.
依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为.
由，得.
因为直线与椭圆有两个交点，所以.
即，解得.
设，,则，，
，.
令，
,
当时，，
所以，
化简得，，
所以.
当时，也成立.
所以存在点，使得.……………………………14分
20. （本题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）若求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围.
解析：(Ⅰ)若，函数的定义域为，.
则曲线在点处切线的斜率为.
而，则曲线在点处切线的方程为.
……………3分
（Ⅱ）函数的定义域为，.
（1）当时，由,且此时，可得.
令，解得或，函数为减函数；
令，解得，但，
所以当，时，函数也为增函数.
所以函数的单调减区间为，，
单调增区间为，.
（2）当时，函数的单调减区间为，.
当时，函数的单调减区间为，.
当时，由，所以函数的单调减区间为，.
即当时，函数的单调减区间为，.
（3）当时，此时.
令，解得或，但，所以当，，时，函数为减函数；
令，解得，函数为增函数.
所以函数的单调减区间为，，，
函数的单调增区间为. …………9分
（Ⅲ）（1）当时，由（Ⅱ）问可知，函数在上为减函数，
所以不存在极值点;
（2）当时，由（Ⅱ）可知，在上为增函数，
在上为减函数.
若函数在区间上存在极值点，则，
解得或,
所以.
综上所述，当时，函数在区间上存在极值点.
…………13分
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