北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学试卷（理工类） 2016．3
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1． 为虚数单位，复数=
A． B． C． D．
答案：D
解析：分母实数化，即分子与分母同乘以分母的其轭复数：。
2． 已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结
论正确的是
A． B．
C． D．
答案：D
解析：∵函数 y ＝ln(x－1)的定义域M ＝，N ＝，又U ＝R
∴，∴，故 A，C 错误，D显然正确。
3． “”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由，知，
又是增函数，所以，，
由知，但取负值时，无意义，
故选A。
4． 执行如图所示的程序框图，输出的值为
A．42
B．19
C．8
D．3
答案：B
解析：依次执行结果如下：
S＝2×1＋1＝3，i＝1＋1＝2，i＜4；
S＝2×3＋2＝8，i＝2＋1＝3，i＜4；
S＝2×8＋1＝19，i＝3＋1＝42，i≥4；
所以，S＝19，选B。
5．在中，角A，B，C的对边分别为若，则角B的值为
A． B．
C． D．
答案：C
解析：由余弦定理，知，所以
所以，可化为：，
所以，，所以，B＝。
6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是
A. 收入最高值与收入最低值的比是
B. 结余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D. 前6个月的平均收入为40万元
（注：结余=收入-支出）
答案：D
解析：读图可知A、B、C均正确，对于D，前6 个月的平均收入＝45万元．
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
A． B．
C． D．
答案：A
解析：三棱锥如下图所示：
CD＝1，BC＝2，CD⊥BC，
且三棱锥A－BCD的高为1
底面积SBCD＝＝1，
所以，V＝
8．若圆与曲线的没有公共点，则半径的取值范围是
A． B． C． D．
答案：C
解析：只需求圆心（0，1）到曲线上的点的最短距离，取曲线上的点，，
距离
所以，若圆与曲线无公共点，则0＜ r＜．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
9． 二项式的展开式中含的项的系数是 （用数字作答）．
答案：10
解析：二项式的展开式的每一项为：
令10－3r ＝4得r ＝2，∴x4的系数为＝10．
10．已知等差数列()中，，，则数列的通项公式 ；______．
答案：,
解析：
11．在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的参数方程为
为参数．以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲
线与的交点的极坐标为 ．
答案：
解析：将C2方程代入C1方程得，
解得t ＝1 ∴x＝1， y ＝1
故极坐标为
12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线与区域D有公
共点，则实数a的取值范围是 ．
答案：
解析：如图所示，直线 y＝a（x＋1）过点 A（－1，0）
且该直线过图中B 点时为临界条件，
并且当其斜率小于AB 斜率时均与区域D 有公共点．
B点坐标由x－y＝0和2x＋y－9＝0联立得B（3，3）
．
故a 的取值范围为
13．已知为所在平面内的一点，且．若点在的内部(不含边界)， 则实数的取值范围是____．
答案：
解析：如图所示，点M 在△ABC 内部（不含边界）
过D 点作平行于 AC 的直线，并交BC 于F 点，则，
此时， u， M 点与F 点重合，为另一临界条件．
综上， n 的取值范围为
14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第
（）项能力特征用表示，
若学生的十二项能力特征分别记为，，则
两名学生的不同能力特征项数为 （用表示）．如果两个
同学不同能力特征项数不少于，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有名学生两两综合能力差异较大，则这名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ．
答案： 22
解析：设第三个学生为
则不同能力特征项数总和恰为22 ，所以最小值为22 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
已知函数，．
（Ⅰ）若，求的单调递增区间；
（Ⅱ）若，求的最小正周期的表达式并指出的最大值．
解析：解：（Ⅰ）当时，
．
令．
解得．
所以的单调递增区间是.……………………7分
（Ⅱ）由
．
因为，所以．
则，．
解得．
又因为函数的最小正周期，且，
所以当时，的最大值为． ………………………………………13分
16．（本小题满分13分）
为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．
人数 本数
性别
1
2
3
4
5
男生
1
4
3
2
2
女生
0
1
3
3
1
（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4
的概率？
（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为，求随机变
量的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需
写出结论）．
解析：解：（Ⅰ）设事件：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅
读本数之和为4 ．
由题意可知， ．………………………………………4分
（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故的取值为
．
由题意可得； ；
； ；
．
所以随机变量的分布列为
随机变量的均值．…………10分
（Ⅲ）．…………………………………………………………………………13分
17．（本小题满分14分）
A
M
P
C
B
A1
C1
B1
如图，在直角梯形中，，，．直角梯形通过直角梯形以
直线为轴旋转得到，且使得平面平面．为线段的中点，为线段上的动点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当点是线段中点时，求二面角的余
弦值；
（Ⅲ）是否存在点，使得直线//平面？请说明理由．
解析：解：（Ⅰ）由已知，且平面平面，
所以，即．
又因为且，
所以平面．
由已知，所以平面．
因为平面，
y
x
A
M
P
C
B
A1
C1
B1
z
所以．…………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知两两垂直．
分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示．
由已知 ，
所以，．
因为为线段的中点，为线段的中点，所以．
易知平面的一个法向量．
设平面的一个法向量为，
由 得
取，得．
由图可知，二面角的大小为锐角，
所以．
所以二面角的余弦值为．………………………………9分
（Ⅲ）存在点，使得直线//平面．
设，且，，则，
所以．所以．
设平面的一个法向量为，
由 得
取，得（显然不符合题意）．
又，若//平面，则．
所以．所以．
所以在线段上存在点，且时，使得直线//平面．…………14分
18．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；
（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．
解析： 解：（Ⅰ）函数的定义域为．．
（1）当时，恒成立，函数在上单调递增；
（2）当时， 令，得．
当时，，函数为减函数；
当时，，函数为增函数．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为．
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
……………………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
（1）当时，即时，函数在区间上为增函数，
所以在区间上，，显然函数在区间上恒大于零；
（2）当时，即时，函数在上为减函数，在
上为增函数，所以．
依题意有，解得，所以．
（3）当时，即时，在区间上为减函数，
所以．
依题意有，解得，所以．
综上所述，当时，函数在区间上恒大于零．………………8分
（Ⅲ）设切点为，则切线斜率，
切线方程为．
因为切线过点，则．
即． ………………①
令 ，则 ．
（1）当时，在区间上，， 单调递增；
在区间上，，单调递减，
所以函数的最大值为．
故方程无解，即不存在满足①式．
因此当时，切线的条数为．
（2）当时, 在区间上，，单调递减，
在区间上，，单调递增，
所以函数的最小值为．
取，则．
故在上存在唯一零点．
取，则．
设，，则．
当时，恒成立．
所以在单调递增，恒成立．所以．
故在上存在唯一零点．
因此当时，过点P存在两条切线．
（3）当时，，显然不存在过点P的切线．
综上所述，当时，过点P存在两条切线；
当时，不存在过点P的切线．…………………………………………………13分
19．（本小题满分14分）
已知点和椭圆．
（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为，，试求的周长及椭圆的离心率；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于两个不同的点，，直线，与轴分别交于，两点，求证：．
解析：解：(Ⅰ)由题意可知，，，所以．
因为是椭圆上的点，由椭圆定义得．
所以的周长为．
易得椭圆的离心率．………………………………………………………4分
(Ⅱ)由得．
因为直线与椭圆有两个交点，并注意到直线不过点，
所以解得或．
设，，则，,
，．
显然直线与的斜率存在，设直线与的斜率分别为，，
则
．
因为，所以．
所以． ………………………………………………………14分
20．（本小题满分13分）
已知等差数列的通项公式.设数列为等比数列,且.
（Ⅰ）若,且等比数列的公比最小，
（ⅰ）写出数列的前4项；
（ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：以为首项的无穷等比数列有无数多个.
解析：解：（Ⅰ）观察数列的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，
32，35，….
因为数列是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是，最小公比是4.
（ⅰ）以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128.
（ⅱ）由（ⅰ）可知，公比，所以.
又，所以，
即.
再证为正整数.
显然为正整数，
时，，
即，故为正整数.
所以，所求通项公式为.
……………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）设数列是数列中包含的一个无穷等比数列，
且，，
所以公比.因为等比数列各项为整数，所以为整数.
取（），则，故.
只要证是数列的项，即证.
只要证为正整数，显然为正整数.
又时，，
即，又因为，都是正整数，
故时，也都是正整数.
所以数列是数列中包含的无穷等比数列，
其公比有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，
故数列所包含的以为首项的不同无穷等比数列有无数多个.
…………………………………………………………………………………………13分
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