2016年内蒙古包头一中高考数学一模试卷（文科）
一．选择题
1．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（ ）
A．（0，2） B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}
2．已知p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，q：∃x∈（0，+∞），sinx＞1，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．￢p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q
3．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下面不等式中正确的是（ ）
A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．b+a＜0 D．a2﹣b2＞0
4．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数g（x）图象的一个对称中心可以是（ ）
A． B． C． D．
5．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的全面积为（ ）
A．12 B．16 C． +4 D．4+4
6．已知△ABC满足，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
7．等差数列{an}中，a3和a9是关于x的方程x2﹣16x+c=0（c＜64）的两实根，则该数列前11项和S11=（ ）
A．58 B．88 C．143 D．176
8．如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）
A．{2}∪（4，+∞） B．（2，+∞） C．{2，4} D．（4，+∞）
9．执行如图所示的程序框图，若输出S=15，则框图中①处可以填入 （ ）
A．n≥4？ B．n≥8？ C．n≥16？ D．n＜16？
10．记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆M：（x+）2+y2=36，定点N（，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足=2， •=0，则点G的轨迹方程为（ ）
A． +=1 B． +=1
C．﹣=1 D．﹣=1
12．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（ ）
A．（21，25） B．（21，24） C．（20，24） D．（20，25）
二．填空题
13．数列{an}中，a1=2，a2=3，an=（n∈N*，n≥3），则a2011= ．
14．已知x，y均为正实数，且x+3y=2，则的最小值为 ．
15．已知点P（x，y）满足，过点P的直线与圆x2+y2=50相交于A，B两点，则|AB|的最小值为 ．
16．函数f（x）=满足[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0对定义域中的任意两个不相等的x1，x2都成立，则a的取值范围是 ．
三．解答题
17．已知△ABC的周长为，且．
（Ⅰ）求边长a的值；
（Ⅱ）若S△ABC=3sinA，求cosA的值．
18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是线段AB中点．
（1）证明：D1E⊥CE；
（2）求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；
（3）求A点到平面CD1E的距离．
19．2014年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．
（1）求这40辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值；
（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且•=0，△GF1F2的面积为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣1）（k＜0）与椭圆Γ相交于A，B两点．点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线l的方程．
21．已知函数f（x）=（x﹣2）ex和g（x）=kx3﹣x﹣2
（1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求k的取值范围；
（2）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求k的最大值．
22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．
（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；
（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．
2016年内蒙古包头一中高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（ ）
A．（0，2） B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A=[﹣2，2]，
由B中不等式解得：0≤x≤16，x∈Z，即B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，
则A∩B={0，1，2}，
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．已知p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，q：∃x∈（0，+∞），sinx＞1，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．￢p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q
【考点】复合命题的真假．
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．
【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出其复合命题的真假即可．
【解答】解：关于p：∀x∈R，x2﹣x+1=+＞0，成立，
故命题p是真命题，
关于q：∃x∈（0，+∞），sinx＞1，
∵∀x∈（0，+∞），sinx≤1，
故命题q是假命题，
故p∨￢q是真命题，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数、三角函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．
3．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下面不等式中正确的是（ ）
A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．b+a＜0 D．a2﹣b2＞0
【考点】不等关系与不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】利用不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵a﹣|b|＞0，∴a＞|b|，∴a2＞b2，即a2﹣b2＞0．
故选D．
【点评】熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
4．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数g（x）图象的一个对称中心可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．
【分析】根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得所得图象对应的函数为y=sin（x+），由x+=kπ，k∈z，可得对称中心的横坐标，从而得出结论．
【解答】解：∵，
∴由，∴，
令．
故选：C．
【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的对称中心，属于中档题．
5．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的全面积为（ ）
A．12 B．16 C． +4 D．4+4
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由三视图可知该几何体为四棱锥，底面四边形ABCD边长为2的正方形，底边长、高都为2的等腰三角形，即可求出该几何体的全面积．
【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，底面四边形ABCD边长为2的正方形，
侧面是底边长、高都为2的等腰三角形，
∴几何体的全面积为2×2+4××2×2=12．
故选：A．
【点评】本题考查几何体的全面积，考查学生的计算能力，确定几何体为四棱锥是关键．
6．已知△ABC满足，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【考点】三角形的形状判断．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】根据向量的加减运算法则，将已知化简得=+•，得•=0．结合向量数量积的运算性质，可得 CA⊥CB，得△ABC是直角三角形．
【解答】解：∵△ABC中，，
∴
=（﹣）+•=•+•
即=+•，得•=0
∴⊥即CA⊥CB，可得△ABC是直角三角形
故选：C
【点评】本题给出三角形ABC中的向量等式，判断三角形的形状，着重考查了向量的加减法则、数量积的定义与运算性质等知识，属于基础题．
7．等差数列{an}中，a3和a9是关于x的方程x2﹣16x+c=0（c＜64）的两实根，则该数列前11项和S11=（ ）
A．58 B．88 C．143 D．176
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的性质和韦达定理求解．
【解答】解：∵等差数列{an}中，a3和a9是关于x的方程x2﹣16x+c=0（c＜64）的两实根，
∴a3+a9=16，
∴该数列前11项和S11===88．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的前11项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．
8．如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）
A．{2}∪（4，+∞） B．（2，+∞） C．{2，4} D．（4，+∞）
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】直线与圆．
【分析】根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，抓住两个关键点，当圆O与两射线相切时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，由三角形AOB为等腰直角三角形，利用三线合一得到OC为斜边AB的一半，利用勾股定理求出斜边，即可求出OC的长，平方即可确定出此时λ的值；当圆O半径为2时，两函数图象有3个公共点，半径大于2时，恰好有2个公共点，即半径大于2时，满足题意，求出此时λ的范围，即可确定出所有满足题意λ的范围．
【解答】解：根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，如图所示，
当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴根据勾股定理得：AB=2，
∴OC=AB=，此时λ=OC2=2；
当圆O半径大于2，即λ＞4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，
综上，实数λ的取值范围是{2}∪（4，+∞）．
故选A
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．
9．执行如图所示的程序框图，若输出S=15，则框图中①处可以填入 （ ）
A．n≥4？ B．n≥8？ C．n≥16？ D．n＜16？
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=1，n=2，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=3，n=4，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=7，n=8，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=15，n=16，满足退出循环的条件；
故判断框中的条件应为n≥16？，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
10．记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【专题】概率与统计．
【分析】由题意，根据几何概型的公式，只要求出平面区域Ω1，Ω2的面积，利用面积比求值．
【解答】解：由题意，两个区域对应的图形如图，
其中，，
由几何概型的公式可得点P落在区域Ω2中的概率为；
故选B．
【点评】本题考查了几何概型的概率求法，解答本题的关键是分别求出平面区域Ω1，Ω2的面积，利用几何概型公式求值．
11．已知圆M：（x+）2+y2=36，定点N（，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足=2， •=0，则点G的轨迹方程为（ ）
A． +=1 B． +=1
C．﹣=1 D．﹣=1
【考点】轨迹方程．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由=2， •=0，知Q为PN的中点且GQ⊥PN，可得|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，从而可求方程．
【解答】解：由=2， •=0，知Q为PN的中点且GQ⊥PN，
∴GQ为PN的中垂线，∴|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，
故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=，
∴短半轴长b=2，
∴点G的轨迹方程是+=1．
故选：A．
【点评】本题主要考查椭圆的定义，解题的关键是将问题等价转化为符合椭圆的定义．
12．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（ ）
A．（21，25） B．（21，24） C．（20，24） D．（20，25）
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】图象法：画出函数y=f（x）的图象，根据图象分析a，b，c，d的关系及取值范围，从而求出abcd的取值范围．
【解答】解：先画出f（x）=的图象，如图：
∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．
且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），3＜c＜4，d＞6．
∴﹣log3a=log3b，c+d=10，
即ab=1，c+d=10，
故abcd=c（10﹣c）=﹣c2+10c，由图象可知：3＜c＜4，
由二次函数的知识可知：﹣32+10×3＜﹣c2+10c＜﹣42+10×4，
即21＜﹣c2+12c＜24，
∴abcd的范围为（21，24）．
故选：B．
【点评】本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，注意体会数形结合思想在本题中的运用．
二．填空题
13．数列{an}中，a1=2，a2=3，an=（n∈N*，n≥3），则a2011= ．
【考点】数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】a1=2，a2=3，an=（n∈N*，n≥3），a3==，同理可得：a4=，a5=，a6=，a7=2，a8=3，…，可得an+6=an．即可得出．
【解答】解：∵a1=2，a2=3，an=（n∈N*，n≥3），
∴a3==，同理可得：a4=，a5=，a6=，a7=2，a8=3，…，
∴an+6=an．
则a2011=a6×333+3=a3=．
故答案为：．
【点评】本题考查了递推关系的应用、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．已知x，y均为正实数，且x+3y=2，则的最小值为 ．
【考点】基本不等式．
【专题】转化思想；不等式．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x，y均为正实数，且x+3y=2，
则==≥=，当且仅当x=y=时取等号．
∴的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．已知点P（x，y）满足，过点P的直线与圆x2+y2=50相交于A，B两点，则|AB|的最小值为 2 ．
【考点】简单线性规划；直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；数形结合法；直线与圆；不等式．
【分析】由约束条件作出可行域，求出可行域内到原点距离最远的点，然后结合弦心距、圆的半径及弦长间的关系得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，5）．
由图可知，可行域内的点中，A1 到原点的距离最大，为，
∴|AB|的最小值为2．
故答案为：．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了直线与圆位置关系的应用，是中档题．
16．函数f（x）=满足[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0对定义域中的任意两个不相等的x1，x2都成立，则a的取值范围是 （0，] ．
【考点】分段函数的应用．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】首先判断函数f（x）在R上单调递减，再分别考虑各段的单调性及分界点，得到0＜a＜1①a﹣3＜0②a0≥（a﹣3）×0+4a③，求出它们的交集即可．
【解答】解：[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0对定义域中的任意两个不相等的x1，x2都成立，
则函数f（x）在R上递减，
当x＜0时，y=ax，则0＜a＜1①
当x≥0时，y=（a﹣3）x+4a，则a﹣3＜0②
又a0≥（a﹣3）×0+4a③
则由①②③，解得0＜a≤．
故答案为：（0，]．
【点评】本题考查分段函数及运用，考查函数的单调性及应用，注意分界点的情况，考查运算能力，属于中档题和易错题．
三．解答题
17．已知△ABC的周长为，且．
（Ⅰ）求边长a的值；
（Ⅱ）若S△ABC=3sinA，求cosA的值．
【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】（I）根据正弦定理把转化为边的关系，进而根据△ABC的周长求出a的值．
（II）通过面积公式求出bc的值，代入余弦定理即可求出cosA的值．
【解答】解：（I）根据正弦定理，
可化为．
联立方程组，
解得a=4．
∴边长a=4；
（II）∵S△ABC=3sinA，
∴．
又由（I）可知，，
∴．
【点评】本题主要考查了余弦定理、正弦定理和面积公式．这几个公式是解决三角形边角问题的常用公式，应熟练记忆，并灵活运用．
18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是线段AB中点．
（1）证明：D1E⊥CE；
（2）求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；
（3）求A点到平面CD1E的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，证明CE⊥面D1DE即可证明：D1E⊥CE；
（2）建立坐标系，利用向量法即可求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；
（3）根据点到平面的距离公式，即可求A点到平面CD1E的距离．
【解答】解：（1）证明：DD1⊥面ABCD，CE⊂面ABCD
所以，DD1⊥CE，
Rt△DAE中，AD=1，AE=1，
DE==，
同理：CE=，又CD=2，CD2=CE2+DE2，
DE⊥CE，
DE∩CE=E，
所以，CE⊥面D1DE，
又D1E⊂面D1EC，
所以，D1E⊥CE．
（2）设平面CD1E的法向量为=（x，y，z），
由（1）得=（1，1，﹣1），=（1，﹣1，0）
•=x+y﹣1=0， •=x﹣y=0
解得：x=y=，即=（，，1）；
又平面CDE的法向量为=（0，0，1），
∴cos＜，＞===，
所以，二面角D1﹣EC﹣D的余弦值为，
（3））由（1）（2）知=（0，1，0），平面CD1E的法向量为=（，，1）
故，A点到平面CD1E的距离为d===．
【点评】本题主要考查直线和平面垂直的性质，以及空间二面角和点到直线的距离的计算，利用向量法是解决本题的关键．
19．2014年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．
（1）求这40辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值；
（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；散点图．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，由此能求出众数的估计值；设图中虚线所对应的车速为x，由频率分布直方图能求出中位数的估计值和平均数的估计值．
（2）从频率分布直方图求出车速在[60，65）的车辆数、车速在[65，70）的车辆数，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，利用列举法能求出车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率．
【解答】解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，
即众数的估计值等于77.5，
设图中虚线所对应的车速为x，
则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，
解得x=77.5，
即中位数的估计值为77.5，
平均数的估计值为：5×（62.5×0.01+67.5×0.02+72.5×0.04+77.5×0.06+82.5×0.05+87.5×0.02）=77．
（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），
车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆）
设车速在[60，65）的车辆设为a，b，
车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，
则所有基本事件有：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），
（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15种
其中车速在[65，70）的车辆恰有一辆的事件有：
（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f）共8种
∴车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率为．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且•=0，△GF1F2的面积为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣1）（k＜0）与椭圆Γ相交于A，B两点．点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线l的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【专题】向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为、点G在椭圆上、•=0及△GF1F2的面积为2列式求得a2=4，b2=2，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和与积，把转化为含有k的代数式，利用基本不等式求得使取得最大值的k，则直线Γ的方程可求．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，
∴e=，①
∵左右焦点分别为F1、F2，点G在椭圆上，
∴||+||=2a，②
∵•=0，△GF1F2的面积为2，
∴||2+||2=4c2，③
，④
联立①②③④，得a2=4，b2=2，
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴．
==
=，当且仅当时，取得最值．
此时l：y=．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线和圆锥曲线间的关系，训练了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，是中档题．
21．已知函数f（x）=（x﹣2）ex和g（x）=kx3﹣x﹣2
（1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求k的取值范围；
（2）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求k的最大值．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数单调性的性质；函数恒成立问题．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）求出g'（x）=3kx2﹣1，通过①当k≤0时，②当k＞0时，函数g（x）在区间（1，2）不单调，判断导数的符号，得到函数有极值，即可求k的取值范围；
（2）构造h（x）=f（x）﹣g（x）=（x﹣2）ex﹣kx3+x+2，转化h（x）=（x﹣2）ex﹣kx3+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立，通过h'（0）=0，对时，时，判断函数的单调性，以及函数的最值，是否满足题意，求出k的最大值．
【解答】解：（1）g'（x）=3kx2﹣1…
①当k≤0时，g'（x）=3kx2﹣1≤0，所以g（x）在（1，2）单调递减，不满足题意；…
②当k＞0时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，
因为函数g（x）在区间（1，2）不单调，所以，解得…
综上k的取值范围是．…
（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=（x﹣2）ex﹣kx3+x+2
依题可知h（x）=（x﹣2）ex﹣kx3+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立 …
h'（x）=（x﹣1）ex﹣3kx2+1，令φ（x）=h'（x）=（x﹣1）ex﹣3kx2+1，
有φ（0）=h'（0）=0且φ'（x）=x（ex﹣6k）…
①当6k≤1，即时，
因为x≥0，ex≥1，所以φ'（x）=x（ex﹣6k）≥0
所以函数φ（x）即h'（x）在[0，+∞）上单调递增，又由φ（0）=h'（0）=0
故当x∈[0，+∞）时，h'（x）≥h'（0）=0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增
又因为h（0）=0，所以h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，满足题意；…
②当6k＞1，即时，
当x∈（0，ln（6k）），φ'（x）=x（ex﹣6k）＜0，函数φ（x）即h'（x）单调递减，
又由φ（0）=h'（0）=0，所以当x∈（0，ln（6k）），h'（x）＜h'（0）=0
所以h（x）在（0，ln（6k））上单调递减，又因为h（0）=0，所以x∈（0，ln（6k））时h（x）＜0，
这与题意h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立相矛盾，故舍．…
综上，即k的最大值是．…
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，构造法以及转化思想的应用，同时考查分类讨论思想的应用，难度比较大，考查分析问题解决问题的能力．
22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．
（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；
（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；
（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．
由，得，即，
∴，即．
化为标准方程得：．
圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x﹣y+=0的距离d=＞1．
∴直线l与曲线C相离；
（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，
则x+y=sinθ+cosθ=，
∴x+y的取值范围是．
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了由点到直线的距离判断直线和圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用，是基础题．
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