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江苏省扬州中学2015-2016学年第二学期月考
高一数学试卷
2016．3
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．函数的最小正周期为 ．
2．的值是 ．
3．若，为第二象限角，则_______.
4.等差数列中，若，则 ．
5．在中，如果，那么是 三角形．(填“钝角”、“锐角”、“直角”)
6．在中，，则这样的的个数为 个．
7．等差数列中，已知，那么的值是 ．
8．设是以2为周期的奇函数，且，若则的值为 ．
9．在中，角的对边分别是，且，则的大小为 ．
北
乙
甲
10．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，则乙船每小时航行 海里？
11．在中，角所对的边分别为满足，，，则的取值范围是 ．
12．设公差为的等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，的值为 .
13.已知函数，若存在实数，满足，其中，则的取值范围是 ．
14． 设函数，其中，对于任意的正整数（），如果不等式在区间有解，则实数的取值范围为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分）
15. （本小题满分14分）已知均为锐角，且，．
（1）求的值； （2）求的值．
16．（本小题满分14分）已知等差数列的前三项依次为、4、，前项和为，且.
（1）求及的值；
（2）设数列的通项，证明数列是等差数列，并求其前项和．
17．（本小题满分15分）已知，，函数．
（1）求函数的值域；
（2）在中，角和边满足，求边．
18.（本小题满分15分）如图，在边长为1的等边中，分别为边上的点，若关于直线的对称点恰好在线段上，
（1）设∈，用表示；
（2）求长度的最小值．
19.（本小题满分15分）设无穷等差数列的前项和为.
(Ⅰ)若首项，公差，求满足的正整数；
(Ⅱ)求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数都有成立.
20．（本小题满分16分）
对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：
①在内是单调函数；②当定义域是，值域也是，则称是函数的“好区间”.
（1）设（其中且），判断是否存在“好区间”，并说明理由；
（2）已知函数有“好区间”，当变化时，求的最大值.
高一数学月考参考答案 2016.3.25
一、 填空题
1． 2． 3． 4． 0 5． 钝角 6． 2
7． 60 8．-3 9． 10． 11． 12． 9
13． 14．
二、解答题
15．
16． (1)设该等差数列为{an}，则a1＝m，a2＝4，a3＝3m，由已知有m＋3m＝8，得a1＝m＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋ ·d＝2k＋ ×2＝k2＋k．由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故m＝2，k＝10．
(2)由(1)Sn＝ ＝n(n＋1)，则bn＝ ＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝ ＝
17． 解：（1）
．
，则函数 的值域为 ；
（2） ， ，
又 ， ，则 ，
由 得 ，已知 ，由余弦定理 得 ．
18． 解：(1) 在 中由正弦定理可知：
，即 . ．
（2） ， ，
∴AD≥32＋3＝3(2－3)＝23－3．
∴AD长度的最小值为23－3 当且仅当 时取得最小值．
19． 解：（I）当 时
由 ，即 又 ．
（II）设数列{an}的公差为d，则在 中分别取k=1,2,得
由（1）得 当
若 成立 ,
若
所以数列不符合题意．当
若
若 ．
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
①{an} : an=0，即0，0，0，…；②{an} : an=1，即1，1，1，…；③{an} : an=2n－1，即1，3，5，…，
20． （1）由 ． 2分
①当 时， ，此时定义域 ， ， ，
， ， ，
， ，
，
在 内是增函数； 4分
②当 时， ，此时定义域 ，同理可证 在 内是增函数；6分（单调性用复合函数的单调性判断也可）
存在"好区间" ，
关于 的方程 在定义域 内有两个不等的实数根．
即 在定义域 内有两个不等的实数根．(*)
设 ，则(*) ，
即 在 内有两个不等的实数根，
设 ，则 无解．
所以函数 不存在"好区间"． 8分
（2）由题设，函数 有"好区间" ，
或 ，函数 在 上单调递增，
，所以 是方程 ，即方程 有同号的相异实数根． 12分 ， 同号， 或 ．
, ．
当 ， 取得最大值 ． 16分
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