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上高二中2015-2016学年高二下学期数学月考（理）试题
一、选择题
1． 的展开式中项的系数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A．0.85 B．0.819 2 C．0.8 D．0.75
3某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动分别成立绘画，象棋和篮球兴趣小组，现有甲，乙，丙、丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有 A 12种 B 24种 C 36种 D 72种
4在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大,则展开式中含项的系数是（ ).A．－56 B．－35 C．35 D．56
5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们
进行一一测试， 直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次
就结束测试的方法种数是（ ）
A. 48 B. 32 C. 24 D. 16
6．已知随机变量X的取值为0,1,2,若,,则（ ）
A． B． C． D．
7. 用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色,若每种颜色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜色不能相同,则不同的涂色方案的种数是（ ）
A 12 B 24 C 30 D 36
8.若，且则实数m的值为（ ）
A. 1或-3 B. -1或3 C. 1 D. -3
9. 形如34021这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，现从由0, 1, 2, 3, 4, 5组成的数字不重复的五位数中任取一个，则该数是“波浪数”的概率为（ ） (A) (B) (C) (D)
10. 八人分乘三辆小车,每辆小车至少载人最多载人,不同坐法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
11.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,
且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的期望为（ ）
A． B． C． D．
12. 定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：,,,
依此类推可得：,
其中,．设,则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题, 每小题5分, 共25分. 请将答案填写在答题卷中的横线上.
13．展开式中,项的系数为 。
14．某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩，（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分这间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为 。
15．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如下图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 种．
16．有下列数组排成一排： 如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：有同学观察得到，据此，该数列中的第2012项是 。
三、解答题：本大题6个小题，共75分，各题解答必须答在答题卡上，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.
17．已知的展开式中,只有第六项的二项式系数最大．
（Ⅰ）求该展开式中所有有理项的项数；
（Ⅱ）求该展开式中系数最大的项．
18.已知一个袋内有4只不同的红球,6只不同的白球.
（1）从中任取4只球,红球的只数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一只红球记2分,取一只红球记2分,取一只白球记1分,从中任取5只球,使总分不小于7分的取法有多少种?
（3）在（2）条件下,当总分为8时,将抽出的球排成一排,
仅有两个红球相邻的排法种数是多少？
19.(本小题满分12分)
N
A
C
D
M
B
E
在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面⊥平面，，，，是的中点.
(1)求证：//平面；
(2)在线段上是否存在点，使二面角
的大小为？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由.
20．“低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器，某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a和b(其中a＋b＝1)．
(1)如果把100万元投资“传统型”经济项目，用ξ表示投资收益(投资收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的概率分布及均值(数学期望)E(ξ)；
(2)如果把100万元投资“低碳型”经济项目，预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投资收益均值，求a的取值范围．
21甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而因轮空，以后每一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空，比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止，设在每局中参赛者胜负的概率均为且各局胜负相互独立，求：
（1）打满3局比赛还未停止的概率；
（2）比赛停止时已打局数的分布列与期望.
22已知椭圆(a>b>0)抛物线，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
4
1
2
4
2
（1）求的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若,
(i) 求的最值.
(ii) 求四边形ABCD的面积；
座 位 号
上高二中2015-2016学年高二下学期月考数学（理）
答题卡
一、选择题（5×12=60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题（5×4=20分）
13. 14.
15. 16.
三、解答题（共75分）
17. （10分）
18. （12分）
N
A
C
D
M
B
E
19.（12分）
20.（12分）
21（12分）
22.（12分）
上高二中2015-2016学年高二下学期月考数学（理）
一、选择题（5×12=60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
A
B
A
C
A
C
C
B
C
二、填空题（5×4=20分）
13. 209 14. 200 15. 108 16
17（1）6；（2）．
试题分析：（1）先由只有第六项的二项式系数最大求出,再利用通项进行求解；（2）设第项的系数最大,利用进行求解．
试题解析：（Ⅰ）由题意可知：,．
,
要求该展开式中的有理项,只需令,
,所有有理项的项数为6项．
（Ⅱ）设第项的系数最大,
则,即,
解得：,,得．
展开式中的系数最大的项为．
18（1）115;（2）186;（3）4320.，
A
F
B
C
D
E
N
M
Q
P
H
19.解(1)连接，设与交于，
连接.由已知，，，
故四边形是平行四边形，F是的中点.
又因为是的中点，所以.………3分
因为平面，平面，
所以平面.……………4分
(2)假设在线段上存在点，
使二面角的大小为.
法一:
延长、交于点，过做
于，连接.
因为是矩形，平面⊥平面，
所以⊥平面，又平面，
所以⊥，平面所以，为二面角的平面角.
由题意.……………7分
在中，，，，则
所以.……………10分
又在中，，所以.
所以在线段上存在点，使二面角的大小为，
此时的长为.………………12分
法二:
由于四边形是菱形，
A
M
N
F
B
C
D
E
P
z
y
x
是的中点， ,
所以为等边三角形，可得.
又是矩形，平面⊥平面，
所以⊥平面.
如图建立空间直角坐标系.………5分
则，，
，.
，.……7分
设平面的法向量为.
则,所以
令.所以
.………………9分
又平面的法向量,………………10分
所以.………………11分
即，解得.所以在线段上存在点，使二面角的大小为，此时的长为.………………12分.
20解 (1)依题意知ξ的可能取值为20，0，－10，ξ的分布列为
η
20
0
－10
P
E(ξ)＝20×＋0×＋(－10)×＝10.
22、解析：
(2)设直线AB的方程为，设
联立，得
----------①
=
当k=0(此时满足①式),即直线AB平行于x轴时，的最小值为-2.
又直线AB的斜率不存在时，所以的最大值为2. …………………………………11分
(ii)设原点到直线AB的距离为d，则
.……………………………12分
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