第4章 等可能条件下的概率
4.3 等可能条件下的概率(二)
知识点 1 用面积法求概率
1．如图4－3－1，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是( )
A. B. C. D.
图4－3－1
图4－3－2
.如图4－3－2所示，在平行四边形纸片上做随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为( )
A. B. C. D.
3．[2017·苏州] 如图4－3－3，在3×3网格中，有3个涂成黑色的小方格．若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是________．
图4－3－3
图4－3－4
4．[2017·宁夏] 如图4－3－4所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上)，则飞镖落在阴影区域的概率是________．
5．[2016·扬州] 如图4－3－5所示的六边形广场由若干个大小完全相同的黑色和白色正三角形组成，一只小鸟在广场上随机停留，刚好落在黑色三角形区域的概率为________．
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图4－3－5
图4－3－6
6．小明去公园玩投掷飞镖的游戏，投中图4－3－6中阴影部分有奖(飞镖盘被平均分成8份)，则小明能获得奖品的概率是________．
7．如图4－3－7是一个转盘，转盘被分成8个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的图形)．求下列事件的概率：
(1)指针指向红色区域；
(2)指针指向黄色区域或绿色区域．
图4－3－7
知识点 2 判断游戏的公平性
8．[2016·青岛] 小明和小亮用如图4－3－8所示的两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．转动两个转盘各一次，当转盘停止转动时，若指针指向的两个数字之积大于2，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
图4－3－8
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9．如图4－3－9，两个构造完全相同(除所标数字外)的转盘A，B，每个转盘被分成3个面积相等的扇形．游戏规定：转动两个转盘各一次，指针指向大的数字者获胜．现由你和小明各选择一个转盘做游戏，你会选择哪一个，为什么？
图4－3－9
10．让图4－3－10中的两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别指向某个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( )
图4－3－10
A. B. C. D.
图4－3－11
11．[2017·成都] 已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图4－3－11所示的图形．现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则＝________．
12．小吴和小黄在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘甲、乙(如图4－3－12)，两转盘被分成面积相等的几个扇形区域，并在每个扇形区域内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止转动后，指针所指扇形区域内的数字之和为4，5或6时，则小吴胜；否则小黄胜．(若指针恰好在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止)
(1)这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由；
(2)请你设计一个对双方都公平的游戏规则．
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图4－3－12
13．有一类随机事件概率的计算方法：设试验结果落在某个区域S中的每一点的机会均等，用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P(A)＝.有一块边长为30 cm的正方形飞镖游戏板ABCD，假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均等．求下列事件发生的概率：
(1)在飞镖游戏板上画有一个半径为5 cm的圆(如图4－3－13①)，求飞镖落在圆内的概率；
(2)飞镖在游戏板上的落点记为点O，求△OAB为钝角三角形的概率．
图4－3－13
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详解详析
1． D [解析] 圆形转盘被分成6个相同的扇形，若每个扇形的面积为1，则阴影区域的面积为4，∴指针指向阴影区域的概率为＝.故选D.
2．B [解析] ∵四边形是平行四边形，
∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分．
观察发现，图中阴影部分的面积为S四边形，
∴针头扎在阴影区域内的概率为.
3. [解析] 共有6种等可能的结果，根据轴对称图形的定义，符合条件的只有2种，如图中的①，②，则完成的图案为轴对称图案的概率是.
4. [解析] 因为圆形被等分成10个扇形，所以飞镖落在任一扇形上的概率是相等的，其中阴影部分占了4个扇形，可知飞镖落在阴影区域的概率是＝.
5. [解析] ∵黑色三角形的面积占总面积的＝，
∴小鸟刚好落在黑色三角形区域的概率为.
6. [解析] ∵飞镖盘被平均分成8份，阴影部分占3份，
∴小明能获得奖品的概率是.
7．解：按颜色把8个扇形分为红1、红2、绿1、绿2、绿3、黄1、黄2、黄3，所有等可能结果的总数为8.
(1)指针指向红色区域的结果有2种，
∴P(指针指向红色区域)＝＝.
(2)指针指向黄色区域或绿色区域的结果有3＋3＝6(种)，
∴P(指针指向黄色区域或绿色区域)＝＝.
8这个游戏对双方是公平的．理由如下：
列表如下：
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A盘积 B盘
1
2
3
1
1
2
3
2
2
4
6
∵一共有6种等可能的情况，积大于2与积不大于2的情况各有3种，
∴P(小明胜)＝P(小亮胜)＝＝，
∴这个游戏对双方是公平的．
9．解：选择转盘A.理由：
画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中转盘A上的数字大于转盘B上的数字的情况有5种，转盘A上的数字小于转盘B上的数字的情况有4种，
∴P(转盘A上的数字大于转盘B上的数字)＝，P(转盘A上的数字小于转盘B上的数字)＝，
∴选择转盘A.
10．C
11. [解析] 设⊙O的半径为r，由勾股定理易得AD＝r，∴S阴影＝S正方形ABCD＋4×S半圆－S⊙O＝＋4×π×－πr2＝2r2.
∵S⊙O＝πr2，∴＝＝.
12．解：(1)不公平，理由：
列出表格如下：
甲
和
乙
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
由图可知共有20种等可能的结果， 其中指针所指扇形区域内的数字之和为4，5或6的有11种，
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∴P(小吴胜)＝，P(小黄胜)＝，则P(小吴胜)≠P(小黄胜)，即游戏规则对双方不公平．
(2)规则：两转盘之和大于或等于6时，小吴胜；两转盘之和小于或等于5时，小黄胜(答案不唯一)．
13．(1)∵半径为5 cm的圆的面积＝π·52＝25π(cm2)，
边长为30 cm的正方形ABCD的面积＝302＝900(cm2)，
∴P(飞镖落在圆内)
＝
＝＝.
(2)如图，当点O落在以AB为直径的半圆内时，△OAB为钝角三角形．
∵S半圆＝·π·152＝π(cm2)，
∴P(△OAB为钝角三角形)＝＝.
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