一元二次方程中的易错点剖析
► 易错点一 用方程的定义求待定系数时忽视a≠0
1．[2017·凉山州一模] 已知关于x的方程(m－1)xm2＋1＋2x－3＝0是一元二次方程，则m的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．不能确定
2．若方程(m－1)x2＋x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )
A．m≠1 B．m≥0
C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数
3．若关于x的一元二次方程(a－2)x2－(a2－4)x＋8＝0不含一次项，则a＝________．
4．已知关于x的一元二次方程mx2－(3m－1)x＝1－2m，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．
5．已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋6x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，求该一元二次方程的根．
► 易错点二 用根的意义求待定系数时忽视a≠0
6．若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
7．若关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋x＋m2－2m－3＝0有一个根是0，则m的值是( )
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A．3或－1 B．－3或1
C．－1 D．3
8．已知x＝1是方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，求常数k的值．
► 易错点三 讨论根的存在性时忽视a≠0及中a≥0
9．已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k＜－2 B．k＜2
C．k＞2 D．k＜2且k≠1
10．若关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋3＝0有实数根，则整数a的最大值为( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
11．已知关于x的一元二次方程x2－x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
12．若关于y的一元二次方程(1－2m)y2＋2y－1＝0有实数根，则m的取值范围是____________．
13．已知关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x＋k＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k取最大整数时，求方程的根．
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14．已知关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实数根．
(1)求a的最大整数值．
(2)当a取最大整数值时，
①求出该方程的根；
②求2x2－的值．
► 易错点四 用方程解决问题时忽略解有意义的条件
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝，两条直角边a，b的长分别为关于x的方程x2－(m＋1)x＋m＝0的两个实数根，求m的值．
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16．已知直角三角形的两边长x，y满足|x2－4|＋＝0，求第三边的长．
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详解详析
1．[易错点] 易忽视m－1≠0.
B [解析] ∵关于x的方程(m－1)xm2＋1＋2x－3＝0是一元二次方程，∴m－1≠0且m2＋1＝2，即m≠1且m＝±1，∴m＝－1.故选B.
2．[易错点] 易忽视m－1≠0或m≥0.
C [解析] 特别要注意二次项系数不等于0的条件，结合二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可求得．根据题意，得m－1≠0且m≥0，解得m≥0且m≠1.
3．[易错点] 易忽视二次项系数a－2不为0.
－2 [解析] 由题意可知－(a2－4)＝0，解得a＝2或a＝－2，但当a＝2时，二次项的系数为0，方程就不是一元二次方程了，故a＝－2.
4．[易错点] 忽视m≠0，忘记对m的值进行取舍．
解：由题意，知m≠0，b2－4ac＝[－(3m－1)]2－4m(2m－1)＝1，
∴m1＝0(舍去)，m2＝2，
∴原方程化为2x2－5x＋3＝0.
解得x1＝1，x2＝.
5．[易错点] 忽视m－2≠0，忘记对m的值进行取舍．
解：根据题意，得m－2≠0且m2－5m＋6＝0，
解m2－5m＋6＝0，得m1＝2，m2＝3，
∴m＝3，
∴原方程化为x2＋6x＝0，
∴x1＝0，x2＝－6.
6．[易错点] 忽视a－1≠0，忘记对a的值进行取舍．
A [解析] 把x＝0代入方程，得|a|－1＝0，
∴a＝±1.∵a－1≠0，∴a＝－1.
7．[易错点] 忽视m＋1≠0，忘记对m的值进行取舍．
D [解析] 因为关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋x＋m2－2m－3＝0有一个根是0，
所以把x＝0代入，得m2－2m－3＝0，解得m＝3或－1.因为m＋1≠0，所以m≠－1，故m＝3.
8．易错点] 这个方程可以是一元一次方程，不必考虑1－k≠0.
解：把x＝1代入方程(1－k)x2＋k2x－1＝0，得1－k＋k2－1＝0，即－k＋k2＝0，解得k＝0或1.
9．[易错点] 忽视k－1≠0.
D [解析] 根据题意，得b2－4ac＝4－4(k－1)＝8－4k＞0且k－1≠0，
解得k＜2且k≠1.故选D.
10．[易错点] 忽视a－1≠0.
C [解析] 根据题意，得4－12(a－1)≥0且a－1≠0，解得a≤且a≠1，
则整数a的最大值为0.
11．[易错点] 忽视2k＋4≥0.
－2≤k＜2 [解析] 根据题意，得b2－4ac＝2k＋4－4k＞0，则k＜2.而2k＋4≥0，所以k≥－2，所以－2≤k＜2.
12．[易错点] 忽视1－2m≠0，或忽视m＋1≥0.
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－1≤m≤2且m≠ [解析] 根据题意，得b2－4ac＝4(m＋1)＋4(1－2m)≥0，解得m≤2.
而1－2m≠0且m＋1≥0，所以m≠且m≥－1.
故－1≤m≤2且m≠.
13．[易错点] 易忽视k≠0.
解：(1)∵关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x＋k＝0有两个不相等的实数根，
∴
解得k＜且k≠0.
(2)∵k＜且k≠0，
∴当k取最大整数时，k＝－1，
此时原方程为－x2＋2x－＝0，
解得x1＝1＋，x2＝1－.
14． [易错点] (1)求a的最大整数值时，忽视a－6≠0.
(2)②求代数式的值时，可不解方程x2－8x＋9＝0，而是把它变形后整体代入，可避免因运算量大而导致出错．
解：(1)根据题意，得64－4×(a－6)×9≥0且a－6≠0，解得a≤且a≠6，
∴a的最大整数值为7.
(2)①当a＝7时，原方程变形为x2－8x＋9＝0.
∵b2－4ac＝64－4×9＝28>0，
∴x＝，
∴x1＝4＋，x2＝4－.
②∵x2－8x＋9＝0，
∴x2－8x＝－9，
∴原式＝2x2－16x＋
＝2(x2－8x)＋
＝2×(－9)＋
＝－.
15．[易错点] 解方程知x＝m是方程的一个根，它是直角三角形的边长，其值为正，对
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m的值应予以取舍．
解：解方程x2－(m＋1)x＋m＝0，
得x1＝m，x2＝1，
即Rt△ABC的两条直角边长分别为m，1.
又知斜边c＝，由勾股定理，得m2＋1＝()2，
解得m＝±2.
又因为m为直角边长，所以m＝2.
16． [易错点] 对x，y的身份不加讨论．
解：∵|x2－4|≥0，≥0，|x2－4|＋＝0，
∴x2－4＝0，y2－5y＋6＝0，
∴x＝2或－2(舍去)，y＝2或3.
①当两直角边长均是2时，斜边长为＝2 ；
②当2，3为直角边长时，斜边长为＝；
③当2为一直角边长，3为斜边长时，另一直角边长为＝.
综上所述，第三边的长为2 或或.
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