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河池高中2017届高二年级春季学期第二次月考试题
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5.运行如图所示的框图，可知输出的结果为（ ）
A．3 B．7 C．6 D．9
6.观测一组的数据，利用两种回归模型计算得 ①与②，经计
算得模型①的，模型②的，下列说法中正确的是（ ）
A．模型①拟合效果好 B．模型①与②的拟合效果一样好 C．模型②拟合效果好 D．模型①负相关
7.在锐角中，，，，则 （ ）
A．5 B．或 C． D．
8.曲线在点处的切线方程为 （ ）
A． B． C． D．
9.已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10.已知等比数列 中，各项都是正数，且成等差数列，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11.椭圆与直线 交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12.设函数是奇函数（）的导函数，且，当时，，则使成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知 ，观察下列式子：，，
……，归纳得第四个式子为 .
14.若的内角所对的边满足，且，则的值为 .
15.对正整数，若曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列 的前项和为 .
16.若椭圆与曲线无交点，则椭圆的离心率的取值范围为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，共调查了100位学生，其中80位南方学生20位北方学生.南方学生中有60位喜欢甜品，20位不喜欢；北方学生中有10位喜欢甜品，10位不喜欢.
（Ⅰ）根据以上数据绘制一个的列联表；
（Ⅱ）根据列联表表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.
0.10
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
附：
18.（本小题满分12分）在中，内角成等差数列，其对边满足，求.
19.（本小题满分12分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人名币储蓄存款（年底余额）如下表
年份
2011
2012
2013
2014
2015
时间代号
1
2
3
4
5
储蓄存款（千亿元）
5
6
7
8
10
（Ⅰ）求关于的回归方程；
（Ⅱ）用所求回归直线方程预测该地区2016年（）的人民币储蓄存款.
附：回归方程 ,
20.（本小题满分12分）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，，，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列的前项和.
21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，点在上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线不过原点且不平行于坐标轴，与相交于两点，是线段的中点.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积是一个定值.
22.（本小题满分12分）已知，，，，（是自然对数的底数），.
（Ⅰ）讨论当时，的极值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：；
（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值为3？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
河池高中2017届高二年级春季学期第二次月考试题
文科数学参考答案
一、 选择题
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
B
B
B
A
B
B
C
A
A
二、 填空题
13．； 14．； 15．； 16．
三、解答题
17．解：（1）列联表为：
喜欢甜品
不喜欢甜品
总计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
总计
70
30
100
………………………………（4分）
因为……………………………………………………………………（2分）
所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”。（1分）
18．解：因为，又因为，所以……………………（2分）
∵，∴，……………………………………………（2分）
即………………………………………………………………（1分）
所以……………………………………………………（1分）
即………………………………（4分）
所以，即或…………（1分）
因为，所以或………………………………………………………（1分）
19．解：（1）因为……………………………………………………（1分）
……………………………………………………………（2分）
,………………………………………………………………（2分）
……………………………………………………………………（1分）
，∴………………………………………………………………（2分）
（2）时，…………………………………………（3分）
预测该地区2016年的人民币储蓄存款为10.8千亿元………………………………（1分）
20．（1）由题意知：
……………………………………………………………………（2分）
∴…………………………………………………………………………（2分）
∴…………………………………………………………………（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ……………………………………………………（2分）
∵ （1）
∴（2）…………………………（1分）
由（1）（2）得：
……………………………………………（1分）
…………………………………………………………………………（1分）
∴……………………………………………………………………………（1分）
21．（Ⅰ）由题意知：解得……………………（2分）
∴．
（Ⅱ）证明：设直线，………………………………（1分）
．将代入得：
………………………………………………………（1分）
………………………………………………………………………（1分）
∴，………………………………（2分）
…………………………………………………………………………（1分）
∴
22．解：（Ⅰ）当时，，…………………………（1分）
令，∵，∴………………（1分）
即在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值，无极大值．……………………（1分）
（Ⅱ）由（1）知，在上的最小值为1，
令……………………………………………………（1分）
∵，令得……………………………………（1分）
∴在上单调递增，的最大值为…………………（1分）
即，∴成立．
（Ⅲ）设存在使得
求得，令，
∵，∴………………………………………………（1分）
① 若，则，
即在上单调递减，∴，
，所以舍去………………………………………………………………（1分）
② 若，则………………………………………………（1分）
1’当即时，
在上单调递增，在上单调递减
∴
，∴可取………………………………………………………………（1分）
2’当即时，在上单调递减，∴，，
所以舍去…………（1分）
综上，存在，使得
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