2015年湖北省武汉市武昌区高三五月调研数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．设全集为R，集合A={x||x|＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁RB）=（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，3）
2．已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．函数y=cos（2x﹣）在区间[﹣，]上的简图是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上是单调递减的是（ ）
A．f（x）=x3 B．f（x）=﹣|x+1| C．f（x）=ln D．f（x）=
5．设m＞1，x，y满足约束条件，且目标函数z=x+my的最大值为2，则m的取值为（ ）
A．2 B．1+ C．3 D．2+
6．如图为某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，给出以下命题：
①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
②若l⊥α，l∥m，则m⊥α
③若l∥α，m⊂α，则l∥m
④若l∥α，m∥α，则l∥m．
其中，正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．2
9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知f（x）=，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．（﹣）∪（） B．（﹣]∪[） C．[] D．（）
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把答案填在题中横线上
11．已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，若l1⊥l2，则a= ．
12．已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t= ．
13．如图，已知长方体过一个顶点的三条面对角线的长分别为5，，，则其外接球（长方体的顶点均在球面上）的表面积是 ．
14．执行如图所示的程序框图，则输出的a为
15．将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a，b，则关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率为 ．
16．对某种灯泡中随机地抽取200个样品进行使用寿命调查，结果如下：
寿命（天）
频数
频率
[100，200）
20
0.10
[200，300）
30
y
[300，400）
70
0.35
[400，500）
x
0.15
[500，600）
50
0.25
合计
200
1
规定：使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，小于300天是次品，其余的是正品．
（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，求得x= ，y= ；
（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，则n的最小值为 ．
17．对于函数y=f（x），x∈D，若对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M，已知f（x）=x3﹣x2+1，x∈[1，2]，则函数f（x）=x3﹣x2+1在[1，2]上的几何平均数M= ．
四、解题题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有Sn=n2+n．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知a=2，求三角形ABC面积的最大值．
20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=，E是棱A1A的中点，F为棱CC1上的一动点．
（Ⅰ）若C1E∥平面ABF，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：A1C⊥平面ABF．
21．已知f（x）=alnx++3x﹣4．
（1）当a=﹣2时，求f（x）的单调区间；
（2）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求证： +++…+＞ln（2n+1）对一切正整数n均成立．
22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，过椭圆的右边焦点F作互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B和C、D，且M、N分别为AB、CD的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线MN过定点，并求出这个定点；
（3）当AB、CD的斜率存在时，求△FMN面积的最大值．
2015年湖北省武汉市武昌区高三五月调研数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．设全集为R，集合A={x||x|＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁RB）=（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，3）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．
【解答】解：全集为R，集合A={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，
∁RB={x|x≤﹣1或x＞5}
则A∩（∁RB）={x|﹣3＜x≤﹣1}
故选：B．
【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力．
2．已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】求出复数z，得到对应点的坐标即可判断选项．
【解答】解：复数z满足（3﹣4i）z=25，
可得z===3+4i．对应点为：（3，4），在第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，是基础题．
3．函数y=cos（2x﹣）在区间[﹣，]上的简图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据三角函数的单调性判断函数的单调性即可得到结论．
【解答】解：当x=0时，y=cos（﹣）=＞0，排除C，
当cos（2x﹣）=0，得2x﹣=+kπ，
即x=+，
∵x∈[﹣，]，
∴x=或﹣，排除A，B，
故选：D
【点评】本题主要考查三角函数图象的判断，根据三角函数的单调性是解决本题的关键．
4．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上是单调递减的是（ ）
A．f（x）=x3 B．f（x）=﹣|x+1| C．f（x）=ln D．f（x）=
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：对于A，f（x）=x3是奇函数，在区间[﹣1，1]上是单调递增，不正确；
对于B，f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，不正确；
对于C，f（﹣x）=ln=﹣f（x）是奇函数，∵ =﹣1+在区间[﹣1，1]上是单调递减，∴f（x）=ln在区间[﹣1，1]上是单调递减，正确；
对于D，f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，在区间[﹣1，1]上不是单调递减，不正确．
故选：C．
【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，正确运用函数的单调性与奇偶性的定义是关键．
5．设m＞1，x，y满足约束条件，且目标函数z=x+my的最大值为2，则m的取值为（ ）
A．2 B．1+ C．3 D．2+
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．
【解答】解：∵m＞1，由约束条件作出可行域如图，
直线y=mx与直线x+y=1交于（），
目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，
由题意可知，
又∵m＞1，解得m=1+．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
6．如图为某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；图表型．
【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，做出底面的面积，三棱锥的高是2，根据三棱锥的体积公式得到结果．
【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，
三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，
三棱锥的底面的面积是=2，
由三视图知三棱锥的一个侧面与底面垂直，三棱锥的高是2，
∴三棱锥的体积是=
故选C．
【点评】本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高，三棱锥的高是由垂直与底面的侧面的高得到，本题是一个基础题．
7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，给出以下命题：
①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
②若l⊥α，l∥m，则m⊥α
③若l∥α，m⊂α，则l∥m
④若l∥α，m∥α，则l∥m．
其中，正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．
【分析】①利用线面位置关系可得：l与α平行相交或l⊂α，即可判断出正误；
②利用线面垂直的判定定理即可判断出；
③利用线面平行的判定定理可得：l∥m或为异面直线，即可判断出正误；
④利用线线与线面位置关系即可判断出：可得l∥m、相交或为异面直线，进而判断出正误．
【解答】解：①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α不成立（m没有给出是平面内的任意一条直线），例如可能l⊂α，l∥α，l与α相交但是不垂直等；
②若l⊥α，l∥m，由线面垂直的判定定理可得m⊥α，正确；
③若l∥α，m⊂α，则l∥m或为异面直线，因此不正确；
④若l∥α，m∥α，则l∥m、相交或为异面直线．
其中，正确命题的个数是1．
故选：A．
【点评】本题考查了空间位置关系及其判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得a，b的关系，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．
【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，
代入抛物线方程y=x2+1，
得x2x+1=0，
由相切的条件可得，判别式﹣4=0，
即有b=2a，则c===a，
则有e==．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查直线和曲线相切的条件，考查运算能力，属于基础题．
9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】利用平行四边形法则，借助于正弦与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．
【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB
∵，
∴
∴
∵
∴
∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，
∴
∴4＞
∴4＞
∵k＞0，∴
故选C．
【点评】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
10．已知f（x）=，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．（﹣）∪（） B．（﹣]∪[） C．[] D．（）
【考点】函数恒成立问题；函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】求出函数的最值，不等式有f（x1）≤g（x2）等价为有f（x）max≤g（x）min即可．
【解答】解：当x≤1时，f（x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+≤，
当x＞1时，f（x）=﹣log3x＜0，
则函数f（x）max=，
g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|≥|k﹣x+x﹣1|=|k﹣1|，
若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，
则|k﹣1|≥，
即k﹣1≥或k﹣1≤﹣，
即k≥或k≤，
故选：B
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，求出函数的最值是解决本题的关键．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把答案填在题中横线上
11．已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，若l1⊥l2，则a= ．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】直线与圆．
【分析】由两直线互相垂直，可得两直线系数间的关系，由此列关于a的方程求得a值．
【解答】解：∵直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，且l1⊥l2，
∴a×1+2（a﹣1）=0，即a+2a﹣2=0，解得a=．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线垂直间的关系，关键是对垂直条件的记忆与应用，是基础题．
12．已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t= 2 ．
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．
【解答】解：∵，，∴ =0，
∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．
故答案为2．
【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．
13．如图，已知长方体过一个顶点的三条面对角线的长分别为5，，，则其外接球（长方体的顶点均在球面上）的表面积是 50π ．
【考点】球的体积和表面积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】先求出长方体的棱长，再求出它的体对角线即求出外接球的直径，由此据公式即可球的表面积，本题采用了设而不求的技巧，没有解棱的长度，直接整体代换求出了体对角线的长度．
【解答】解：长方体一顶点出发的三条棱长的长分别为a，b，c，
则a2+b2=25，b2+c2=34，c2+a2=41，
得a2+b2+c2=50．
于是，球的直径2R满足4R2=（2R）2=a2+b2+c2=50．
故外接球的表面积为S=4πR2=50π．
故答案为：50π．
【点评】本题考查长方体的几何性质，长方体与其外接球的关系，以及球的表面积公式，训练了空间想象能．．
14．执行如图所示的程序框图，则输出的a为 ﹣
【考点】程序框图．
【专题】规律型；算法和程序框图．
【分析】根据题意，模拟程序图的运行过程，找出输出a值的周期，即可得出输出的结果．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
开始a=3，i=1；
第一次循环a==﹣2，i=2；
第二次循环a==﹣，i=3；
第三次循环a==，i=4；
第四次循环a==3，i=5；
第五次循环a=﹣2，i=6；
…；
∴a的取值周期为4，且跳出循环的i值为2015，
∴输出的a=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现a值的周期是关键．
15．将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a，b，则关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率为 ．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】由题意可得（a，b）的所有结果共有36种，每种结果等可能出现，再利用列举法求出关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根包含的基本事件个数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率．
【解答】解：将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a，b，基本事件总数n=6×6=36，
∵关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根，
∴△=a2﹣4b＞0，
a=1时，不成立；
a=2时，不成立；
a=3时，b可以取1，2；
a=4时，b可以取1，2，3；
a=5时，b可以取1，2，3，4，5，6；
a=6时，b可以取1，2，3，4，5，6．
满足条件的基本事件个数m=17，
∴关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率：
p==．
故答案为：．
【点评】本题考查关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
16．对某种灯泡中随机地抽取200个样品进行使用寿命调查，结果如下：
寿命（天）
频数
频率
[100，200）
20
0.10
[200，300）
30
y
[300，400）
70
0.35
[400，500）
x
0.15
[500，600）
50
0.25
合计
200
1
规定：使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，小于300天是次品，其余的是正品．
（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，求得x= 30 ，y= 0.15 ；
（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，则n的最小值为 4 ．
【考点】频率分布表．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）由频率=，利用频率分布列能求出x，y的值．
（2）由频率分布表先求出x，再求出优等品、正品、次品的比例，从而能求出按分层抽样方法，购买灯泡的个数n=k+2k+k=4k，（k∈N*），由此能求出n的最小值．
【解答】解：（1）由频率分布表得：
x=200×0.15=30，
y==0.15．
故答案为：30，0.15．
（2）由已知得x=200×0.15=30，
∴由频率分布表得到：
灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，
∴优等品、正品、次品的比例为50：100：50=1：2：1，
∴按分层抽样方法，购买灯泡的个数n=k+2k+k=4k，（k∈N*），
∴n的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查频率分布表中未知数的求法，考查按三个等级分层抽样所得的结果相同的n的最小值的求法，是基础题，解题时要注意频率分布表和分层抽样的性质的合理运用．
17．对于函数y=f（x），x∈D，若对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M，已知f（x）=x3﹣x2+1，x∈[1，2]，则函数f（x）=x3﹣x2+1在[1，2]上的几何平均数M= ．
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】新定义；函数的性质及应用．
【分析】根据已知中对于函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．我们易得若函数在区间D上单调递增，则M应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由f（x）=x3﹣x2+1，D=[1，2]，代入即可得到答案．
【解答】解：根据已知中关于函数f（x）在D上的几何平均数为M的定义，
由于f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x，在{1，2]内f′（x）＞0，
则f（x）=x3﹣x2+1在区间[1，2]单调递增，
则x1=1时，存在唯一的x2=2与之对应，
且x=1时，f（x）取得最小值1，x=2时，取得最大值5，
故M==．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了应用新定义分析题意解决问题．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．
四、解题题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有Sn=n2+n．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）运用数列的通项和求和的关系：当n=1时，a1=S1，当n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1，计算即可得到所求通项；
（Ⅱ）求得bn=（﹣），由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2；
当n＞1时，由Sn=n2+n，可得Sn﹣1=（n﹣1）2+n﹣1=n2﹣n，
两式相减，可得an=Sn﹣Sn﹣1=2n，
综上可得an=2n；
（Ⅱ）bn==（﹣），
前n项和为Tn=（1﹣++﹣+…+﹣+﹣）
=（1+﹣﹣）=﹣（+），
由于（+）＞0，
则Tn＜成立．
【点评】本题考查数列的通项和求和的关系，考查数列的求和方法：裂项相消求和，注意保留和消掉的项，属于中档题．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知a=2，求三角形ABC面积的最大值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】（Ⅰ）运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，化简即可得到角A；
（Ⅱ）由余弦定理可得，4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，即bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，运用三角形的面积公式可得到最大值．
【解答】解：（Ⅰ）acosC=（2b﹣c）cosA，即为
acosC+ccosA=2bcosA，
由正弦定理，可得，sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，
sin（A+C）=2sinBcosA即sinB=2sinBcosA，
∵B∈（0，π）
∴sinB≠0
∴cosA=，
∵A∈（0，π）
∴A=；
（Ⅱ）由余弦定理可得，4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，
∴bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，
∴△ABC的面积S=bcsinA=bc≥，
∴当且仅当b=c=2时，S取得最大值，且为．
【点评】本题考查正弦定理和面积公式的运用，考查两角和差的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=，E是棱A1A的中点，F为棱CC1上的一动点．
（Ⅰ）若C1E∥平面ABF，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：A1C⊥平面ABF．
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）由题意可得C1E∥FA，又E是棱A1A的中点，可得F为棱CC1的中点，即可得解．
（Ⅱ）由题意可证∠FAC=∠A1CC1，从而可求A1C⊥AF，证明AB⊥平面A1ACC1．即可证明A1C⊥AB，从而得证A1C⊥平面ABF．
【解答】解：（Ⅰ）∵C1E∥平面ABF，C1E⊂平面A1ACC1，
平面ABF∩平面A1ACC1=AF，
∴C1E∥FA，
∵E是棱A1A的中点，∴F为棱CC1的中点，
∴=；…6分
（Ⅱ）设AB=AC=a，则AA1=，
∵，
∴∠FAC=∠A1CC1，
∵∠A1CC1+∠A1CA=90°，∴∠FAC+∠A1CA=90°，
∴A1C⊥AF，
∵A1A⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴A1A⊥AB，
∵AB⊥AC，
∴AB⊥平面A1ACC1．
∵A1C⊂平面A1ACC1，∴AB⊥A1C．
∴A1C⊥AB，A1C⊥AF，
∴A1C⊥平面ABF．…13分．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
21．已知f（x）=alnx++3x﹣4．
（1）当a=﹣2时，求f（x）的单调区间；
（2）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求证： +++…+＞ln（2n+1）对一切正整数n均成立．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围；
（2）由（1）知，x＞0时，不等恒成立，则x＞0时，恒成立．令k=1，2，3，…，n，叠加，即可证明结论．
【解答】解：（1）当a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+
=
f'（x）=0，解得x=或x=1
因为x＞0，所以x=1．f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（2）f'（x）=
△=a2+12＞0，则方程3x2+ax﹣1=0有两个异号的实根，设这两个实根为x1，x2，且x1＜0＜x2．
∴0＜x＜x2时，f'（x）＜0．f（x）在区间[0，x2]上为减函数，f（x2）＜f（0）=0．
∴a＜﹣2不符合要求．
∴a的取值范围为[﹣2，+∞）．
（3）证明：由（1）知，x＞0时，不等式﹣2lnx+恒成立，
∴x＞0时，恒成立，
令，得
整理得：
∴令k=1，2，3…，n，得
…，
将上述n个不等式的左右两边分别相加得，
∴对一切正整数n均成立．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，巧妙利用两小题之间的关系，是解题的关键．
22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，过椭圆的右边焦点F作互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B和C、D，且M、N分别为AB、CD的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线MN过定点，并求出这个定点；
（3）当AB、CD的斜率存在时，求△FMN面积的最大值．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由于椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣y+1，分别代入椭圆方程，由于韦达定理和中点坐标公式可得中点M，N的坐标，求得斜率和直线方程，即可得到定点H，检验m=0也成立；
（3）由（2）可得，△FMN面积为S=|FH|•|yM﹣yN|，化简整理，再令m+=t（t≥2），由于函数的单调性，即可得到最大值．
【解答】（1）解：∵椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，
∴b=，c=a，a2﹣b2=c2，
∴解得a2=3，b2=2，
∴椭圆方程为．
（2）证明：设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，
则直线CD的方程为x=﹣y+1，
联立椭圆方程，消去x，得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，
∴x1+x2=（my1+1）+（my2+1）
=m（y1+y2）+2=，
由中点坐标公式得M（，﹣），
将M的坐标中的m用﹣代换，得CD的中点N（，），
kMN=，
直线MN的方程为y+=（x﹣），
即为y=（x﹣1），
令x﹣1=0，可得x=，即有y=0，
则直线MN过定点H，且为H（，0）
当m=0，即有x=1，可得直线MN也过定点H；
（3）解：由（2）可得，△FMN面积为S=|FH|•|yM﹣yN|
=（1﹣）•|﹣﹣|=2||=2||
可令m+=t（t≥2），由于6t+的导数为6﹣，且大于0，即有在[2，+∞）递增．
即有S==在[2，+∞）递减，
即有t=2即m=1时，S取得最大值，且为．
则△FMN面积的最大值为．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理和基本不等式和函数的单调性等知识点的合理运用．
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