1
第 2 课时 对顶角
知识点 对顶角的概念及性质
1．下列各组角中，∠1 与∠2 是对顶角的是( )
图 6－3－12
2．下列说法中，正确的是( )
A．有公共顶点，并且相等的角是对顶角
B．如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角
C．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
D．有的对顶角不相等
3. 如图 6－3－13 所示，AB 与 CD 相交于点 O，∠AOD＋∠BOC＝280°，则∠AOC 的度数
为( )
2
图 6－3－13
A．40° B．60° C．120° D．140°
4．如图 6－3－14，三条直线 l1，l2，l3 相交于点 E，则∠1＋∠2＋∠3 等于( )
图 6－3－14
A．90° B．120°
C．180° D．360°
5. 如图 6－3－15，直线 AB 与 CD 相交于点 O，已知∠AOD＝120°，则∠BOC 的补角是
________°.
图 6－3－15
6. 若两个角是对顶角且互补，则这两个角都是________角．
7．教材复习题第 6 题变式如图 6－3－16，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 是∠AOD 的平分
线，∠COB＝140°，则∠DOE＝________°.
图 6－3－16
8．如图 6－3－17， AB，CD 相交于点 O，∠DOE＝90°，∠AOC＝72°.求∠BOE 的度
数．3
图 6－3－17
9．如图 6－3－18，AB，CD 相交于点 O，OB 平分∠DOE，若∠DOE＝60°，求∠AOC 的度
数．
图 6－3－18
10．如图 6－3－19，直线 AB，CD 相交于点 O，∠AOE＝
1
2∠EOC，∠AOD＝2∠BOD，求∠AOE
的度数．4
图 6－3－19
11．如图 6－3－20，直线 AB，CD 相交于点 O，已知∠AOC＝70°，OE 把∠BOD 分成两部
分，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE 的度数．
图 6－3－20
12．如图 6－3－21 所示，直线 AB，CD 交于点 O，且∠BOC＝80°，OE 平分∠BOC，OF
为 OE 的反向延长线．
(1)求∠2 和∠3 的度数；
(2)OF 平分∠AOD 吗？请说明理由．5
图 6－3－21
13．如图 6－3－22 所示，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分∠BOD，OF 平分∠COE，
∠AOD∶∠BOD＝2∶1.
(1)求∠DOE 的度数；
(2)求∠AOF 的度数．
图 6－3－22
14．2016·苏州期末如图 6－3－23，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分∠BOD.
(1)若∠AOC＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF 的度数；6
(2)若 OF 平分∠COE，∠AOE＝150°，求∠FOE 的度数．
图 6－3－23
15．观察图 6－3－24，寻找对顶角(不含平角)：
图 6－3－24
(1)如图①，图中共有________对对顶角；
(2)如图②，图中共有________对对顶角；
(3)如图③，图中共有________对对顶角；
(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有 n 条直线相交于一
点，则可形成________对对顶角；
(5)若有 2018 条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？7
1．D [解析]根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，A，B，C 都不是由两条直
线相交构成的图形，错误；D 是由两条直线相交构成的图形，正确．故选 D.
2．B
3．A [解析] 因为∠AOD 与∠BOC 是对顶角，所以∠AOD＝∠BOC.又因为∠AOD＋∠BOC＝
280°，所以∠AOD＝∠BOC＝140°.因为∠AOD 与∠AOC 互补，所以∠AOC＝180°－140°＝
40°.故选 A.
4．C
5．60 [解析] 因为∠AOD 与∠BOC 为对顶角，所以∠AOD＝∠BOC＝120°，故∠BOC 的
补角为 180°－120°＝60°.
6．直 [解析] 因为两个角是对顶角，所以这两个角相等．因为这两个角互补，所以它
们的度数之和为 180°，所以这两个角都是 90°，都是直角．
7．70 [解析] ∵∠COB＝140°，∴∠AOD＝140°，∵OE 是∠AOD 的平分线，
∴∠DOE＝∠AOE＝70°.
8．解：因为∠BOD 与∠AOC 是对顶角，∠AOC＝72°，所以∠BOD＝∠AOC＝72°.因为∠DOE
＝90°，所以∠BOE＝∠DOE－∠BOD ＝90°－72°＝18°.
9．解：∵OB 平分∠DOE，∠DOE＝60°，∴∠BOD＝
1
2∠DOE＝
1
2×60°＝30°，∴∠AOC＝
∠BOD＝30°.
10．解：设∠AOE＝x，
则∠EOC＝2∠AOE＝2x，
故∠BOD＝∠AOC＝∠AOE＋∠EOC＝3x，
所以∠AOD＝2∠BOD＝6x.
又因为∠AOD＋∠BOD＝180°，
所以 6x＋3x＝180°.故 x＝20°.
所以∠AOE 的度数为 20°.
11．解：因为∠AOC＝70°，
所以∠BOD＝∠AOC＝70°.8
因为∠BOE∶∠EOD＝2∶3，
所以∠BOE＝
2
5×70°＝28°，
所以∠AOE＝180°－28°＝152°.
12．解：(1)因为∠BOC＝80°，OE 平分∠BOC，所以∠1＝∠COE＝40°.根据对顶角相
等，可得∠3＝∠COE＝40°.根据平角的定义，可得∠2＝180°－40°－40°＝100°.
(2)OF 平分∠AOD.理由：根据对顶角相等，可得∠AOF＝∠1＝40°.又因为∠3＝40°，
所以 OF 平分∠AOD.
13． 解：(1)∵∠AOD∶∠BOD＝2∶1，∠AOD＋∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝
1
3×180°＝60°.
∵OE 平分∠BOD，
∴∠DOE＝
1
2∠BOD＝
1
2×60°＝30°.
(2)∠COE＝∠COD－∠DOE＝180°－30°＝150°.
∵OF 平分∠COE，
∴∠COF＝
1
2∠COE＝
1
2×150°＝75°.
∵∠AOC＝∠BOD＝60°(对顶角相等)，
∴∠AOF＝∠AOC＋∠COF＝60°＋75°＝135°.
14．解：(1)∵∠AOC＝68°，∴∠BOD＝68°.
∵OE 平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE＝34°.
∵∠DOF＝90°，
∴∠EOF＝∠DOF－∠DOE＝90°－34°＝56°.
(2)∵OE 平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE.
∵∠BOE＋∠AOE＝180°，∠COE＋∠DOE＝180°，9
∴∠COE＝∠AOE＝150°.
∵OF 平分∠COE，
∴∠FOE＝
1
2∠COE＝
1
2×150°＝75°.
15．解：(1)如图①，图中共有 1×2＝2(对)对顶角．
(2)如图②，图中共有 2×3＝6(对)对顶角．
(3)如图③，图中共有 3×4＝12(对)对顶角．
(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，
若有 n 条直线相交于一点，则可形成 n(n－1)对对顶角．
(5)若有 2018 条直线相交于一点，则可形成(2018－1)×2018＝4070306(对)对顶角．
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