高2014级高二下期第一次月考数学试题（理科）
考试时间:120分钟 满分:150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个答案是正确的)
1、以下判断正确的是( )
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x∈N，x3>x”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝sin 2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
2、椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3、如图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 ( )
A. B. C．10 D．不能估计
4、若动圆圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0，－2)
5、已知双曲线（），直线过的一个焦点，且垂直于轴，直线与双曲线交于，两点，则等于（ ）
A． B． C． D．
6、已知过曲线 (θ为参数，0≤θ≤π)上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是 ( )．
A．(3，4) B. C．(－3，－4) D.
7、抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又已知点是一个定点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8、下列命题中正确命题的个数是（ ）
①对于命题，使得，则，均有
②是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件
③命题“若，则”的逆否命题为真命题
④“”是“直线与直线垂直”的充要条件
A．个 B．个 C．个 D．个
9、已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1,2] B．(1,2) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
10、若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k等于( )
A．2或－1 B．－1 C．2 D．1±
11、已知过定点的直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取到最大值时，直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．不存在
12、已知双曲线的左焦点为F,点P为双曲线右支上一点,点A满足，则点A到原点的最近距离为（ ）
A．1 B. C. D.2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13、若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ．
14、已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
15、已知点，抛物线（）的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若，则的值等于
16、如图，椭圆（），圆，椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆上一点和原点作直线交圆于、两点，若，则的值为
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答需写出必要的步骤）
17、（本题满分12分）两次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.
(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；
(2)将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
18、(本题满分12分)已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解；若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．
19、（本题满分12分）已知两个定点A(－1,0)、B(2,0)，求使∠MBA＝2∠MAB的点M的轨迹方程．
20、（本题满分12分）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程．
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
21．(本题满分12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x2的焦点，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，若＝m，＝n，求m＋n的值．
22、（本题满分10分）已知某圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0，求：
(1)圆的普通方程和参数方程；
(2)在圆上所有的点(x，y)中x·y的最大值和最小值．
高2014级高二下期第一次月考数学试题（理科）答案
一、选择题
DDABA DBBCC AC
二、填空题
13、 14、 15、 16、6
三、解答题
17、解 先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36个． ………2分
(1)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切，
∴＝1，整理得：a2＋b2＝25. ……….4分
由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，∴满足条件的情况只有a＝3，b＝4，或a＝4，b＝3两种情况．
∴直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率是＝. …. …6分
(2)∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形，
∴当a＝1时，b＝5，共1个基本事件；
当a＝2时，b＝5，共1个基本事件；
当a＝3时，b＝3，5，共2个基本事件；
当a＝4时，b＝4，5，共2个基本事件；
当a＝5时，b＝1，2，3，4，5，6，共6个基本事件；
当a＝6时，b＝5，6，共2个基本事件；
∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14个．
∴三条线段能围成等腰三角形的概率为＝. ………..12分
18、解 ∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，
则x1＋x2＝m且x1x2＝－2，
∴|x1－x2|＝＝，
当m∈[－1,1]时，|x1－x2|max＝3，
由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立可得：a2－5a－3≥3，
∴a≥6或a≤－1.
所以命题p为真命题时，a≥6或a≤－1. ………..5分
命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，
当a>0时，显然有解；
当a＝0时，2x－1>0有解；
当a0有解，
∴Δ＝4＋4a>0，∴－1－1.
又命题q为假命题，∴a≤－1. ………10分
综上得，若p为真命题且q为假命题则a的取值范围是. ………12分
19、解 设动点M的坐标为(x，y)．
设∠MAB＝β，∠MBA＝α，即α＝2β，
∴tan α＝tan 2β，则tan α＝.① ………..4分
(1)如图(1)，当点M在x轴上方时，tan β＝，tan α＝，
将其代入①式并整理得3x2－y2＝3 (x>0，y>0)； ……….6分
(2)如图(2)，当点M在x轴的下方时，
tan β＝，tan α＝，
将其代入①式并整理得3x2－y2＝3 (x>0，y
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