准考证号： 姓名：
（在此试卷上答题无效）
保密★启用前
2016年福建省普通高中毕业班质量检查
文 科 数 学
注意事项：
1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页；
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
3.请将全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效；
4.考试结束或，将本试卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，则
A.1 B.2 C. D.
2. 集合，则
A. B. C. D.
3.已知，则 的值等于
A. B. C. D.
4.执行如图所示的程序框图，如果输入n的值为4，则输出的S的值为
A.15 B.6 C.-10 D.-21
5. 某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x与销售利润y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
2
3
5
6
销售利润y(万元)
5
7
9
11
由表中数据，得线性回归方程，则下列结论错误的是
A. B. C.直线过点(4,8) D.直线过点(2,5)
5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体是
A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱
7.在ABC中，为AB中点，BCD的面积为，则AC等于
A. B. C. D.
8. 函数，则是
A.奇函数，且在上单调递减 B.奇函数，且在上单调递增
C.偶函数，且在上单调递减 D.偶函数，且在上单调递增
9. 在空间直角坐标系O-xyz中，A(0,0,2)，B(0,2,0)，C(2,2,2)，则三棱锥 O-ABC外接球的表面积为
A. B. C. D.
10.若x,y满足约束条件则的最小值为
A. B. C.5 D.9
11.已知过双曲线的焦点的直线与C交于A,B两点，且使，的直线恰好有3条，则C的渐近线方程为
A. B. C. D.
12. 已知函数，若与的图像上分别存在点M，N，使得M,N关于直线对称，则实数k的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题--第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题--第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知函数，则 .
14.已知向量的夹角为，则 .
15.椭圆的右焦点与抛物线的焦点F重合，点P是椭圆C和抛物线E的一个公共点，点满足，则的离心率为 .
16.已知是函数的图像上的一个最高点，B，C是图像上相邻的两个对称中心，且的面积为，若存在常数M(M>0)，使得，则该函数的解析式是 .
三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知等比数列的前n项为和，且
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)求数列的前n项和.
18. （本小题满分12分）
随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷.现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下.
(Ⅰ)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；
(Ⅱ)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答以下问题：
(ⅰ)能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%？
(ⅱ)如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？并说明理由.
19.（本小题满分12分）
如图，多面体中，四边形ABCD为菱形，且.
(Ⅰ)求证：
(Ⅱ)若求三棱锥的体积.
20.（本小题满分12分）
已知点，直线与x轴交于点B，动点M到A，B两点的距离之比为2.
(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程；
(Ⅱ)设C与x轴交于E，F两点，P是直线上一点，且点P不在C上，直线PE,PF分别与C交于另一点S，T，证明：A，S，T三点共线.
22.（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线平行于x轴.
(Ⅰ)求的单调区间；
(Ⅱ)证明：时，.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，的两条中线AD和BE相交于点G，且D,C,E,G四点共圆.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)若GC=1，求AB.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求C的普通方程和直线的倾斜角；
(Ⅱ)设点P(0，2)，和C交于A,B两点，求.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)求使不等式的解集M；
(Ⅱ)设，证明：.
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文科数学试题答案及评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
（1）C （2）D （3）A （4）C （5）D （6）A
（7）B （8）D （9）C （10）B （11）A （12）D
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．
（13） （14） （15） （16）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查等比数列的通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）设的公比为，
依题意，得 3分
解得 5分
所以． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以，① 7分
所以，② 8分
①－②得， 10分
． 11分
所以． 12分
18．本小题主要考查频率分布直方图、平均数、众数、古典概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的 “平均送达时间”的众数为
55（分钟）． 2分
使用A款订餐软件的50个商家的 “平均送达时间”的平均数：
（分钟）．
6分
（Ⅱ）（ⅰ）使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为
0.04+0.20+0.56=0.80=80%>75%. 8分
故可认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.
9分
（ⅱ）使用B款订餐软件的50个商家的 “平均送达时间”的平均数：
，
所以选B款订餐软件． 12分
注：本小题答案开放，只要能够按照统计知识合理作答，即给满分。如以下回答也符合要求。
根据样本估计总体的思想可知，使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”在30分钟内的概率为0.4，使用B款订餐软件的商家的 “平均送达时间”在30分钟内的概率为0.24，所以可选A款订餐软件．
19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．
解法一：（Ⅰ）如图，取中点，连结．
∵，∴．……………………1分
∵四边形为菱形，
∴，
又，∴△为等边三角形，∴，
∴． 3分
∵，，，∴， 5分
∵，∴． 6分
（Ⅱ）在中，，，
∴，
∵ 为等边三角形，∴,∴． 7分
又 ，∴，∴ ， 8分
∵，,,
∴ 平面． 9分
又， 10分
∴．
又∵∥，
∴ 11分
． 12分
解法二：（Ⅰ）同解法一． 6分
（Ⅱ）在△中，，，
∴，
∵ 为等边三角形，
∴，∴． 7分
又 ，∴，∴ ， 8分
所以． 9分
又，∥，,
∴ 10分
． 12分
20. 本小题考查圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等. 满分12分．
解法一：（Ⅰ）设点，依题意，， 3分
化简得，即曲线的方程为. 5分
O
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线的方程为，
令得，不妨设．
设，
则直线的方程为，
由得， 6分
所以，即，． 8分
直线的方程为，
由得， 9分
O
所以，即，． 11分
所以，
，
所以，所以三点共线． 12分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线的方程为，
令得，不妨设．
设，
则直线的方程为，
由消去得， 6分
所以，． 8分
直线的方程为，
由得， 9分
所以，． 11分
以下同解法一．
解法三：（Ⅰ）同解法一．
O
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线的方程为，
令得，不妨设．
设，
当时，，此时三点共线．
当时，则直线的方程为，
由消去得， 6分
所以． 7分
直线的方程为 ，
由消去得， 8分
所以． 9分
， 11分
因为，
，
所以．
所以，所以三点共线． 12分
21．本小题主要考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）因为，， 2分
依题意得，即，解得． 3分
所以，显然在单调递增且，
故当时，；当时，．
所以的递减区间为，递增区间为． 5分
（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）知，当时，取得最小值．
又的最大值为，故． 7分
②当时，设，
所以， 8分
令，，
则，
当时，,，所以，…………………………….9分
当时，，，所以，……….……………….10分
所以当时，，故在上单调递增，
又 ，所以当时，；
当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以，即． 11分
综上，当时，． 12分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
(Ⅱ)设．
（1） 当时，，
6分
①当时，，所以， 7分
所以在上单调递减，所以，即．
8分
②当时，
令
则，
所以在上单调递增， 9分
即在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，即．
故当时，恒成立． 10分
（1） 当时，因为，
所以， 11分
由（1）知，，所以．
综合（1）（2），当时，． 12分
解法三：（Ⅰ）同解法一． 5分
(Ⅱ)设，则，
令,得， 6分
当时，，当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增， 8分
所以， 9分
所以，所以，即． 10分
因为，，
所以．
12分
请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
（22）选修：几何证明选讲
本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．
解法一：（Ⅰ）连结，因为四点共圆，则． 2分
又因为为△的两条中线，
所以分别是的中点，故∥． 3分
所以， 4分
从而． 5分
（Ⅱ）因为为与的交点，
故为△的重心，延长交于，
则为的中点，且． 6分
在△与△中，因为，，
所以△∽△， 7分
所以，即． 9分
因为，，，
所以，即，
又，所以． 10分
解法二：（Ⅰ）同解法一． 5分
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，，
因为四点共圆，所以， 6分
所以∽，所以， 7分
由割线定理，， 9分
又因为是的中线，所以是的重心，
所以,又，
所以，所以，
所以，因为，所以． 10分
（23）选修；坐标系与参数方程
本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．
解法一：（Ⅰ）由消去参数，得，
即的普通方程为． 2分
由，得，（＊） 3分
将代入（＊），化简得， 4分
所以直线的倾斜角为． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点在直线上， 可设直线的参数方程为（为参数），
即（为参数）， 7分
代入并化简，得． 8分
．
设两点对应的参数分别为，
则，所以 9分
所以． 10分
解法二：（Ⅰ）同解法一. 5分
（Ⅱ）直线的普通方程为.
由消去得， 7分
于是.
设，则，所以.
8分
故.
10分
（24）选修：不等式选讲
本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．
解法一：
（Ⅰ）（ⅰ） 当时，原不等式可化为，解得，
此时原不等式的解是； 2分
（ⅱ）当时，原不等式可化为，解得，
此时原不等式无解； 3分
（ⅲ）当时，原不等式可化为，解得，
此时原不等式的解是； 4分
综上，． 5分
（Ⅱ）因为 6分
7分
． 8分
因为，所以，，
所以，即． 10分
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）因为， 7分
所以，要证，只需证，
即证， 8分
即证，
即证，即证． 9分
因为，所以，所以成立，
所以原不等式成立． 10分
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