贵州省习水县第一中学高三年级2015-2016学年度下学期期中考试数学（理科）试题
★ 祝考试顺利 ★
时间：150分钟 分值150分_
第I卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“若，则”的否命题为（ ）
A．若，则且
B．若，则或
C．若，则且
D．若，则或
3．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．函数则（ ）
A． B． C． D．
5．等差数列前项和为，且，则数列的公差为（ ）
A．1 B．2 C．2015 D．2016
6．若，，，则的大小关系（ ）
A． B． C． D．
7．2012年初，甲､乙两外商在湖北各自兴办了一家大型独资企业．2015年初在经济指标对比时发现，这两家企业在2012年和2014年缴纳的地税均相同，其间每年缴纳的地税按各自
的规律增长；企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相同．则2015年企业缴纳地税的情况是 （ ）
A．甲多 B．乙多 C．甲乙一样多 D．不能确定
8．老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，
四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好”；
乙说：“我们四人中有人考的好”；
丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；
丁说：“我没考好”．
结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中 两人说对了．（ ）
A．甲 丙 B．乙 丁 C．丙 丁 D．乙 丙
9．已知的外接圆半径为1，圆心为O，且，则的面积为 （ ）
A． B． C． D．
10．已知函数（）的图象关于直线对称，则 （ ）
A． B． C． D．
11．已知函数是上的增函数．当实数取最大值时，若
存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等,则点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
12．已知，函数，若关于的方程
有6个解，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．已知等比数列前项和为，若,，则_______．
14．已知x,y的取值如下表：
x
0
1
3
4
y
2．2
4．3
4．8
6．7
从所得的散点图分析，y与x线性相关，且，则=_________．
15．在中，，，则的最大角的余弦值为 ．
16．定义表示实数中的较大的数．已知数列满足，若，记数列的前项和为，则的值为 ．
三、解答题（70分）
17．（本题10分）已知在中，角的对边分别为， 且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
18．（本题12分）当前，网购已成为现代大学生的时尚。某大学学生宿舍4人参加网购，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物．
（1）求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；
（2）用分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望．
19．（本题12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若二面角大小为，求的长．
20．（本题12分）已知椭圆C：（）的右焦点为F（1，0），且（，）在椭圆C上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
21．（本题12分）已知函数
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数单调区间；
（3）若存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围．
22．（本题12分）选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由．
（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：由已知，，，所以，故选A．
考点：集合的运算．
2．D
【解析】
试题分析：命题“若，则”的否命题是“若，则或”．故选D．
考点：四种命题．
3．B
【解析】
试题分析：，对应点为，由于，因此，点在第二象限，故选B．
考点：复数的几何意义．
4．A
【解析】
试题分析：，所以．故选A．
考点：分段函数．
5．B
【解析】
试题分析：由得，所以，故选B．
考点：等差数列的前项和公式．
6．D
【解析】
试题分析：，，，所以，故选D．
考点：比较大小，定积分．
7．B
【解析】
试题分析：记甲、乙两企业的每年应缴税收分别构成数列、，则是等差数列，是等比数列，，，不妨设，，则，，，所以，故选B．
考点：数列的应用．
8．D
【解析】
试题分析：如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对，如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D．
考点：合情推理．
9．C
【解析】
试题分析：由题设得：，，所以，，所以，同理，，所以．故选C．
考点：向量的数量积，三角形的面积．
10．A
【解析】
试题分析：由题意，，
，所以，所以，
，，故选A．
考点：三角函数的对称轴．
11．C
【解析】
试题分析：，由题意时，恒成立，所以，而当时，，所以，即的最大值为2．此时，由于函数是奇函数，关于点对称，所以函数的图象关于点对称，所以点的坐标为．
考点：函数的单调性，函数图象的对称性．
【名师点晴】函数的单调性一般都是与导数联系在一起，在上递增，等价于在上恒成立，由此可求得的取值范围，从而求得最大值，过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，由这里的任意性，只有一点符合要求，这点就是函数图象的对称中心，观察函数的表达式，本题通过构造奇函数以及图象平移可求得对称中心．
12．D
【解析】
试题分析：函数在上递减，在和上递增，的图象如图所示，由于方程最多只有两解，因此由题意有三解，所以且三解满足，，，，所以有两解，，，所以，故选D．
考点：函数的零点，方程根的分布．
【名师点晴】本题考查方程根的分布，难度很大．它是一个与复合函数有关的问题，解题方法与我们常规方法不一样，常规方法是求出函数的表达式，解方程或作出函数的图象，由数形结合方法得出结论，但本题的表达式很复杂，由于含有参数，几乎不能求出正确结果，因此我们从复合函数的角度来考虑，以简化方法．方程可以这样解，求出方程的解为，再解方程即得，这样得到题中解法．
13．
【解析】
试题分析：由等比数列前项和的性质知也成等比数列，所以成等比数列，故，解得．
考点：等比数列前项和公式．
14．
【解析】
试题分析：散点图经过的中心点坐标为，代入回归直线方程可得
考点：散点图与回归直线分析．
【易错点晴】本题考查了散点图与回归分析，这类问题解得的一半思路是先画出散点图，看变量之间是否具备线性相关关系，若具备线性相关关系，再求回归直线方程，对于回归直线应用的易错点是代入其中某一数据对，事实上，回归直线可能不经过任何一对观测值，但一定经过中心点，所以应当把中心点的坐标代入给出的方程，从而求得．
15．
【解析】
试题分析：由已知，即，由余弦定理得，即，解得或，若，则，所以，若，则，所以，因此最大角余弦值为．
考点：数量积，余弦定理．
【名师点晴】本题考查解三角形的知识，题中向量数量积是一个载体，我们只要根据数量积的定义把它转化三角形中的边角关系，由已知，应用余弦定理又得一个关系式，一般情况下两者联立可得三角形的三边的比例，再结合余弦定理可得最大角，本题中得出是等腰三角形，不需用余弦定理，就可得最大角为顶角．
16．7254
【解析】
试题分析：由题意，当时，，，，，因此是周期数列，周期为5，所以，不合题意，当时，，，，，同理是周期数列，周期为5，所以，，，．
考点：周期数列．
【名师点晴】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（象本题由依次求出），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数进行分类讨论．解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题．
17．（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）根据正弦定理，，，代入原式，整理为，再公共辅助角公式化简，根据，计算角；
（2）因为知道代入余弦定理，，得到，最后代入面积公式，计算面积．
试题解析：（1）在△中，由正弦定理得，
即，又角为三角形内角，
所以，即，
又因为，所以．
（2）在△中，由余弦定理得：
，则
即，解得或，
又，所以．
考点：1．正弦定理；2．余弦定理；3．面积公式．
18．（1）;（2）详见解析．
【解析】
试题分析：（1） 这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东商城购物的概率为，所以恰有一人去淘宝网购物即;
（2）首先分析，，或，所以分，分别对应事件计算其概率，列出分布列，计算期望．
试题解析：（1）这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东商城购物的概率为--2分
设“这4个人中恰有人去淘宝网购物”为事件，
则．
这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率
（2）易知的所有可能取值为．
，
，
．
所以的分布列是
0
3
4
P
随机变量ξ的数学期望．
考点：离散型随机变量的分布列和数学期望
19．（1）详见解析；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）根据面面垂直的性质定理得到平面，又因为，所以平面，而平面，所以面面垂直；
（2）根据图像以Q为原点建立空间直角坐标系，分别为轴，将异面直线所成角转化为;
（3）根据点C，M，P三点共线，设的坐标，然后求两个平面的法向量，解得，最后代入模的公式．
试题解析：（1）证明：∵ADBC，，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形， ∴CDBQ．
∵∠ADC， ∴∠AQB，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ平面PQB， ∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）解：∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如图2，以Q为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，∵M是PC的中点，∴，
∴．
设异面直线AP与BM所成角为，
则=
∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为．
（3）解：由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为，
由C、M、P三点共线得，且， 从而有，
又，设平面MBQ法向量为，
由可取．
∵二面角M−BQ−C为30°，∴，∴，∴．
考点：1．面面垂直的判定；2．空间向量与立体几何．
20．（1） ;（2） 在x轴上存在点Q（，0）使得恒成立．
【解析】
试题分析：（1）根据椭圆的定义椭圆上的点到两焦点的距离和等于，计算，再根据，计算椭圆的标准方程；
（2）假设在轴上存在点，使恒成立，那么分直线的斜率存在和不存在两种情况证明，当不存在时，会得到两点的坐标，计算出的值，当直线的斜率存在且为0时，将代入数量积的坐标表示成立，当斜率存在且不为0时，设直线方程
与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，同样将代入向量的数量积的坐标表示，成立即存在．
试题解析：解：（1）由题意知c=1．由椭圆定义得，即 --3分
∴，椭圆C方程为．
（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立。
当直线l的斜率不存在时，A（1，），B（1，），由于（）·（）=，所以，
下面证明时，恒成立。（直线方程其它设法通过验证也相应给分）
当直线l的斜率为0时，A（，0）B（，0）
则（，0）（，0）=，符合题意。
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A，B，
由x=ty+1及得
有∴；
，
∴==
，
综上所述：在x轴上存在点Q（，0）使得恒成立。
考点：直线与椭圆的位置关系的应用
21．（1）；（2）单调增区间为，递减区间为 ；（3）．
【解析】
试题分析：（1）先求，再计算，和，最后代入切线方程；
（2）先求函数的导数，并且，判断零点两侧的正负，得到单调区间；
（3）将存在性问题转化为，即，根据上一问的单调性得到最小值，再计算端点值和比较大小．因为，再令令，求其导数，分情况比较大小，计算的取值范围．
试题解析：⑴因为函数，
所以，，
又因为，所以函数在点处的切线方程为．
⑵由⑴，．
因为当时，总有在上是增函数，
又，所以不等式的解集为，
故函数的单调增区间为，递减区间为
⑶因为存在，使得成立，
而当时，，
所以只要即可．
又因为，，的变化情况如下表所示：
减函数
极小值
增函数
所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，
的最大值为和中的最大值．
因为，
令，因为，
所以在上是增函数．
而，故当时，，即；
当时，，即．
所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．
综上可知，所求的取值范围为．
考点：导数的综合应用
22．（1）详见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）平分，由已知中边的相等，得到，再利用同弧所对的圆周角相等，可得，即有，利用等量减等量相等，可得，故得证；
（2）有（1）中的所证条件，，再加上两个三角形的公共角，可证，再利用比例线段求。
试题解析：解：⑴BE平分∠ABC．∵CD＝AC，∴∠D=∠CAD．∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D=∠CAD．∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD，
∴∠ABE=∠EBC，即BE平分∠ABC
（2）由（1）知∠CAD=∠EBC =∠ABE． ∵∠AEF=∠AEB，∴△AEF∽△BEA．
∵AE=6， BE=8． ∴
考点：1．圆周角定理；2．三角形相似；3．角平分线定理．
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