www.ks5u.com
大连市2016年高三第一次模拟考试
数学（理科）能力测试
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、集合，集合，则
A． B． C． D．
2、设复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，，则
A． B． C． D．
3、已知向量，则
A． B． C． D．4
4、已知函数，则
A．4 B． C． D．
5、已知，且，则的概率为
A． B． C． D．
6、已知为第一象限角，则的值为
A． B． C． D．
7、如图，在长方体中，点P是线段CD中点，则三棱锥的左视图为
8、将函数的图象向右平移个单位，所得到的图象关于y轴对称，则函数在上的最小值为
A． B． C． D．
9、执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的结果是
A．51
B．49
C．47
D．45
10、已知双曲线的右焦点为F，以F为
圆心和双曲线C的渐近线相切与双曲线C在第一象限的交点为M，
且MF与双曲线C的实轴垂直，则双曲线C的离心率为
A． B． C． D．2
11、在中，D是BC的中点，已知，则的形状为
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
12、已知偶函数的定义域为，且，当时，不等式恒成立，那么不等式的解集为
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.
13、若满足约束条件，则的最大值为
14、在椭圆上有两个动点为定点，若，则的最小值
为
15、设G是一二非空集合，是定义在G上的一个运算，如果满足下述四个条件：
⑴对于，都有；
⑵对于，都有；
⑶对于，都有；
⑷对于，都有；
则称G关于运算构成一个群，先给出下列集合和运算：
①G是整数集合，为加法；②G是奇数集合，为乘法；③G是平面向量集合，为数量积运算；
④G是非零复数集合，为乘法，其中G关于运算构成群的序号是
16、已知正四棱锥为所有顶点都在半径为1的球面上，当正四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
已知数列满足
（1）求证：是等比数列；
（2）令，求的前n项和。
18、（本小题满分12分）
某初中对初二年级的学生进行体质监测，已知初二一班共有学生30人，测试立定跳远的
成绩用茎叶图表示如下：（单位：）
男生成绩在以上（包括）定义为“合格”，成绩在以下（不包括）定义为“不合格”；
女生成绩在以上（包括）定义为“合格”，成绩在以下（不包括）定义为“不合格”；
（1）求女生立定跳远成绩的中位数；
（2）若在男生中用分层抽样的方法抽取6个人，求抽取成绩“合格”的学生人数；
（3）若从全班成绩“合格”的学生中选取2个人参加复试，用X表示其中男生的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望。
19、（本小题满分12分）
已知等腰梯形ABCD（如图（1）所示），其中分别为AB和CD的中点，
且为BC中点，现将梯形ABCD沿着EF所在直线折起，使平面EFCB平面EFDA（如图（2）所示），N是线段CD上一动点，且.
（1）当时，求证：平面；
（2）当时，求二面角的余弦值。
20、（本小题满分12分）
已知动点P在抛物线上，过点P作轴的垂线，垂足为H，动点Q满足.
（1）求动点Q的轨迹E的方程；
（2）点，过点且斜率为的直线交轨迹E于A、B两点，设直线MA、MB的斜率分别
为，求的最小值。
21、（本小题满分12分）
已知函数
（1）若函数存在单调减区间，求实数的取值范围；
（2）若，证明：，总有。
请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分） 选修4-1 几何证明选讲
已知四边形ABCD为的内接四边形，且，其对角线AC与BD相交于点M，过点B作的切线交DC的延长线于点P。
（1）求证：；
（2）若，求证：。
23、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为餐宿），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，点F的极坐标为，且F在直线上。
（1）若直线与曲线C交于A、B两点，求的值；
（2）求曲线C内接矩形的周长的最大值。
24、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲
若，使关于的不等式成立，设满足条件的实数构成的集合为T。
（1）求集合T；
（2）若，且对于，不等式恒成立，求的最小值。
大连市2016年高三第一次模拟考试参考答案和评分标准
数学（理科）
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一．选择题
1.B 2.C 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8.D 9.A 10.C 11.D 12.B
二．填空题
13. 4 14. 15. ①④ 16.
三．解答题
17.解：
（Ⅰ）由题知:，可知，…………………………………3分
数列是以512为首项, 为公比的等比数列 …………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，.
， …………………………………………………………………………………8分
令，设的前项和为，则， ……………………………10分
当时，
当时，
……………………………………………………………………12分
18.解：（Ⅰ）女生立定跳远成绩的中位数cm． …………………………3分
（Ⅱ）男生中成绩“合格”有8人，“不合格”有4人，用分层抽样的方法，其中成绩“合格”的学生应抽取人 ………………………………………………………………………6分
（III）依题意，的取值为0,1,2，则
，，，
因此，的分布列如下：
0
1
2
P
……………………………………………………………………………………………………10分
∴．………………………………………12分
19.解：（Ⅰ）过点作于点，过点作于点，连接.
由题意，
，
//………………………………………………………………………………………2分
又，所以
，即，
所以四边形为平行四边形. ………………………………………………………………4分
所以，又因为，
所以平面…………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）以为坐标原点，方向为轴， 方向为轴，方向为轴，
建立如图所示坐标系.
由题意，，，，，，
平面的法向量为，
，，
即可以取 ……………………………………………………………………………8分
平面的法向量为，
，
即可以取…………………………………………………………………………10分
则，所以二面角的余弦值为.……………………12分
20.解：（Ⅰ）设点，由知点为的中点，则点，
将点代入中得E的方程为：………………………………………4分
（Ⅱ）方法一：设过点斜率为的直线方程为,.
联立，得，
则
………………………………………………………………………………6分
，…………………………8分
当时（此时，点与均不重合），取得最小值，最小值为1.…………12分
方法二：设过点斜率为的直线方程为,.
联立，得，
则………………………………………………………………………………6分
，
，………………………………………………………………………………8分
因为
当时（此时，点与均不重合），取得最小值，最小值为1. ……12分
21.解：（I）由题.
因为函数存在单调减区间，所以方程有解.
而恒成立，所以有解等价于有解，
所以. ………………………………………………………………………3分
又，
所以，. …………………………………………………………………………………5分
(II)因为，所以，
所以.
而，
又因为，所以.
要证原不等式成立，只需证明
即，在上恒成立.………………………………………7分
记，，
因为，
可见，在时，，即在上是减函数，
在时，，即在上是增函数，
所以,在上， ，所以.
所以，，等号成立当且仅当时.………………………………9分
记，，
因为，
可见时，，即在上是减函数，
时，，即在上是增函数，
所以在上，，所以，
所以，，等号成立当且仅当时.………………………………………11分
综上所述，，
因为取等条件并不一致，
所以，在上恒成立，
所以，总有成立. …………………………12分
22． 证明：（Ⅰ）由可知，，
由角分线定理可知，，即得证 . ………………………4分
（Ⅱ）由，
可知，又因为，所以
所以.所以
又因为
所以
所以……………………………………………………………………………………10分
23.解：(I) 点的极坐标为,所以直角坐标为
曲线的极坐标方程为，所以直角坐标方程为………………………………………………………………………………………3分
将直线的参数方程（）代入曲线C的直角坐标方程中
得，所以…………………………………………………………5分
(Ⅱ)设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为，
由对称性可得椭圆的内接矩形的周长为= …………9分
当，即时椭圆的内接矩形的周长取得最大值16. ………………10分
24.解：(I)
所以，所以的取值范围为.…………………………………………4分
(Ⅱ)由(I)知，对于，不等式恒成立，只需,
所以，…………………………………………………………………………6分
又因为，所以.
又，
所以，所以，，
所以，即的最小值为6.……………………………10分
微信/支付宝扫码支付