北镇中学、莱芜一中、德州一中2016届高三4月份联考
数学（文科）试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共分．考试时间分钟．
2．答卷前，考生务必先将自己的班级、姓名、准考证号、座号用mm黑色签字笔和B铅笔分别涂写在答题卡与答题纸上．
3．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题直接答在答题纸相应区域，不能答在试卷上；试题不交，请妥善保存，只交答题卡与答题纸．
参考公式：
用最小二乘法求线性回归直线方程系数公式．
球的表面积公式，其中是球的半径．
如果事件互斥，那么；如果事件对立，那么．
第Ⅰ卷（共分）
开始
输出
结束
是
否
输入
一、选择题：本大题共小题，每小题分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
1．已知集合，若，则（ ）
A B C D
2．已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则实数的值为（ ）
A B C D
3．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（ ）
A B C D
4．设R，则“”是“” 的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
5．已知具有线性相关关系的两个变量之间的一组数据如下：
且回归直线方程为，根据模型预报当时，的预测值为（ ）
A B C D
6．函数的图象大致是（ ）
A B
C D
侧视图
正视图
俯视图
7．已知函数，则的值为（ ）
A B
C D
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A B
C D
9．已知函数是定义在R上的可导函数，为其导函数，若对于任意实数，都有，其中为自然对数的底数，则（ ）
A B
C D 与大小关系不确定
10．对于两个平面向量，定义它们的一种运算：（其中为向量的夹角），则关于这种运算的以下结论中，不恒成立的是（ ）
A
B 若，则
C
D 若，则
第Ⅱ卷（共分）
二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．
11．函数的定义域为________．
12．若直线过圆的圆心，则的最大值为________．
13．设△的内角的对边分别为，若，则________．
14．某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料．已知生产吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产吨甲、乙产品可获利润分别为万元、万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元．
甲
乙
原料限额
（吨）
（吨）
15．抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交
于第一象限的点．若在点处的切线平行于的一条渐近线，则________．
三、解答题：本大题共个小题，共分．
0.02
16．（本小题满分分）某市为庆祝北京夺得年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动．组织方从参加活动的群众中随机抽取名群众，按他们的年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）若电视台记者要从抽取的群众中选人进行采访，估计被采访人恰好在第组或第组的概率；
（Ⅱ）已知第组群众中男性有名，组织方要从第组中随机抽取名群众组成志愿者服务队，求至少有名女性群众的概率．
17．（本小题满分分）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．
18．（本小题满分分）如图，在三棱柱中，，点分别是的中点，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面⊥平面．
19．（本小题满分分）已知等比数列的前项和为，，且成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求满足方程的正整数的值．
20．（本小题满分分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）当时，讨论的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的都有，求实数的取值范围．
21．（本小题满分分）已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的右焦点为，过作两条互相垂直的直线，直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点．
（i）求证：线段的中点在直线上；
（ii）求的取值范围．
数学（文科）参考答案及评分标准
2016.3
说明：
1．本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准标准酌情赋分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题共小题，每小题分，共50分．
1．【答案】D．
【解析】由得，所以，所以，所以．故选D．
【考点】元素与集合关系、集合运算．
2．【答案】C．
【解析】由题意可得，，因为为纯虚数，所以，所以．故选C．
【考点】复数的概念、复数的代数运算．
3．【答案】D．
【解析】执行程序框图，第一次，第二次，第三次，第四次，第五次，所以输出的的值为．故选D．
【考点】程序框图输出结果．
4．【答案】B．
【解析】由题意可得，“”等价于“或”，即“” ，所以“”是“” 的必要不充分条件．故选B．
【考点】充要条件、不等式性质．
5．【答案】C．
【解析】由题意可得，，，因为回归直线一定过样本点的中心，所以，解得．当时，的预测值为．故选D．
【考点】线性回归直线方程、预测值．
6．【答案】B．
【解析】由题意可得，，所以为偶函数，的图象关于轴对称，可排除答案A、C；当时，，可排除D．故选B．
【考点】函数的图象与性质．
7．【答案】A．
【解析】由题意可得，，所以，所以．故选A．
【考点】函数值、指对运算．
8．
【答案】D．
【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为，高为
的圆锥．设其外接球的半径为，则，解得，所以该几何体外接球的表面积为．故选D．
【考点】三视图、组合体体积．
9．【答案】A．
【解析】构造函数R，的导函数．因为，，所以，在R上是减函数，所以，所以．故选A．
【考点】抽象函数单调性、比较大小．
10．【答案】C．
【解析】因为，所以，选项A恒成立．当，时，，所以或，所以；当或时，恒成立，选项B恒成立．
，选项D恒成立．当时，，选项C不恒成立．故选C．
【考点】新定义、数量积．
编者注：本题中在印刷体中用黑体来表示。
二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．
11．【答案】．
【解析】由题意可得，整理得，所以函数的定义域为．
【考点】定义域、解不等式．
12．【答案】．
【解析】圆可化为，其圆心为，代入直线方程得．因为，所以，当且仅当，即等号成立．所以的最大值为．
【考点】直线与圆的方程、基本不等式．
13．【答案】．
【解析】由得，，由正弦定理得，，因为，所以．由余弦定理得，因为，所以．
【考点】正弦定理、余弦定理．
14．
【答案】．
【解析】设每天生产甲、乙产品分别为吨、吨，每天所获利润为万元，则满足约束条件，目标函数．作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当直线经过点时，取得最大值为．所以该企业每天可获得最大利润为万元．
【考点】应用题、线性规划最优解．
15．【答案】．
【解析】由题意可知，双曲线的右焦点为，渐近线方程为．抛物线的焦点为 ．设点的坐标为，则，所以，所以
．由得，所以在点处的切线的斜率为，所以，代入可得．
【考点】圆锥曲线基本量、直线的斜率．
三、解答题：本大题共个小题，共分．
16．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）设第组的频率为，则由题意可知，．……………………………………………………2分
被采访人恰好在第组或第组的频率为．
∴估计被采访人恰好在第组或第组的概率为．……………………………………………………4分
（Ⅱ）第组的人数为．
∴第组中共有名群众，其中女性群众共名．…………………………………………………………6分
记第组中的名男性群众分别为，名女性群众分别为，
从第组中随机抽取名群众组成志愿者服务队包含共个基本事件．……………………………………………………………………………………………9分
至少有一名女性群众包含
共个基本事件．…………………………………………………………………………………………11分
∴从第组中随机抽取名群众组成志愿者服务队，至少有名女性群众的概率为．………12分
【考点】频率分布直方图、古典概型．
17．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）原函数可化为
．………………………………………………………………………………………………3分
∵函数的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴的最小正周期为．
∴，∴．
∴的值为．…………………………………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．……………………………………………9分
∴．
∵，∴．
∵函数在区间上存在零点，∴．
∴实数的取值范围为．……………………………………………………………………………12分
【考点】三角恒等变换、图象变换、限定区间值域．
18．
【答案】（Ⅰ）略．（Ⅱ）略．
【解析】（Ⅰ）连接，交于点，连接．
在三棱柱中，
四边形是平行四边形，为的中点．…………2分
又∵是的中点，∴．………………………4分
又∵平面，平面，
∴平面．…………………………………………6分
（Ⅱ）∵，，∴△为正三角形，∴．
∵，，∴△为正三角形．…………………………………………7分
∵为的中点，∴，．………………………………………………………8分
∵为的中点，为的中点，，∴．
∵，∴，∴．……………………………………………………10分
∵平面，平面，，
∴平面．………………………………………………………………………………………11分
∵平面，
∴平面⊥平面
．……………………………………………………………………………12分
【考点】位置关系（线面平行、面面垂直）．
19．【答案】（Ⅰ），N．（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为．
∵ 成等差数列，∴．………………………………………………1分
∴，解得或（舍去）．……………………………………………………3分
∴=．
∴数列的通项公式为，N． ……………………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴．…………………………6分
∵数列满足，∴． …………7分
∴．………………………………………9分
∴．
由得，．
∴满足方程的正整数的值为
．………………………………12分
【考点】等比数列通项公式、新数列求和（裂项相消）．
20．【答案】（Ⅰ）当时，取得极小值为，无极大值．
（Ⅱ）当时，在上是减函数，在上是增函数；
当时，在上是减函数；
当时，在上是减函数，在上是增函数．
（Ⅲ）．
【解析】（Ⅰ）当时，，定义域为，
的导函数．………………………………………………………………1分
当时，，在上是减函数；
当时，，在上是增函数．………………………………………………2分
∴当时，取得极小值为，无极大值．……………………………………3分
（Ⅱ）当时，的定义域为，的导函数为．……………………………………5分
由得，，．……………………………6分
（1）当时，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数；
（2）当时，在上是减函数；
（3）当时，在上是减函数，在上是增函数，
在上是减函数．………………………………………………………………………………………8分
综上所述，
当时，在上是减函数，在上是增函数；
当时，在上是减函数；
当时，在上是减函数，在上是增函数．……………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上是减函数．
∴．………………………………………………10分
∵对于任意的都有，
∴对任意恒成立，
∴对任意恒成立．……………………………………………………………………11分
当时，，∴．
∴实数的取值范围为．…………………………………………………………………………13分
【考点】函数极值、函数单调性、恒成立问题．
21．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）（i）略；（ii）．
【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则由题意可知．
∵椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，∴．………………………………………1分
由得．
∴椭圆的方程为．…………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，椭圆的方程为，它的右焦点为．
（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线的方程为，此时线段的中点为，点的坐标为，直线的方程为，线段的中点在直线上．…………4分
（2）当直线的斜率存在时，若直线的斜率为，则直线的方程为，与不相交，所以直线的斜率不为．设直线的方程为，则直线的方程为．
设两点的坐标分别为，线段的中点为．
由得．
判别式，
．
则，
．……………………………………………………………6分
由得点的坐标为，∴直线的斜率为，
∴直线的方程为．……………………………………………………………………………7分∴，
∴线段的中点在直线上．……………………………………………………………………………8分
（ii）（1）当直线的斜率不存在时，由得，．
∴，此时．……………………………………………………………………9分
（2）由（i）知直线的斜率不为，所以当直线的斜率存在且不为时，
，．
．……11分
令，
则
．…………12分
∵，∴，，∴．
此时．
∴的取值范围为．………………………………………………………………………………14分
【考点】椭圆基本量、直线与椭圆（位置关系、度量关系）．
微信/支付宝扫码支付